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1. 填空
(1)一个圆柱的体积是 90 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是()立方厘米。
(2)一个圆锥的体积是 45 立方米，高是 9 米。这个圆锥的底面积是()平方米。
(3)一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积相差 12.6 立方厘米。这个圆锥的体积是()立方厘米，圆柱的体积是()立方厘米。
(1)一个圆柱的体积是 90 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是()立方厘米。
(2)一个圆锥的体积是 45 立方米，高是 9 米。这个圆锥的底面积是()平方米。
(3)一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积相差 12.6 立方厘米。这个圆锥的体积是()立方厘米，圆柱的体积是()立方厘米。
答案
(1) 30
(2) 15
(3) 6.3，18.9
解析
(1) 圆柱体积公式为 $V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h$，圆锥体积公式为 $V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h$。等底等高时，圆锥体积为圆柱体积的三分之一。
$90 × \frac{1}{3} = 30$（立方厘米）。
(2) 圆锥体积公式 $V = \frac{1}{3} × \mathrm{底面积} × \mathrm{高}$，已知 $V = 45$ 立方米，高 $h = 9$ 米，代入公式得：
$\mathrm{底面积} = \frac{45 × 3}{9} = 15$（平方米）。
(3) 设圆锥体积为 $V$，则圆柱体积为 $3V$，体积相差 $3V - V = 12.6$，解得：
$2V = 12.6$，$V = 6.3$（立方厘米），圆柱体积为 $3 × 6.3 = 18.9$（立方厘米）。
$90 × \frac{1}{3} = 30$（立方厘米）。
(2) 圆锥体积公式 $V = \frac{1}{3} × \mathrm{底面积} × \mathrm{高}$，已知 $V = 45$ 立方米，高 $h = 9$ 米，代入公式得：
$\mathrm{底面积} = \frac{45 × 3}{9} = 15$（平方米）。
(3) 设圆锥体积为 $V$，则圆柱体积为 $3V$，体积相差 $3V - V = 12.6$，解得：
$2V = 12.6$，$V = 6.3$（立方厘米），圆柱体积为 $3 × 6.3 = 18.9$（立方厘米）。
2. 一个圆锥的底面积是 27 平方厘米，高 6 厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？
答案
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}Sh$
其中$S = 27$平方厘米，$h = 6$厘米
$V = \frac{1}{3}×27×6$
$= 9×6$
$= 54$（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是54立方厘米。
其中$S = 27$平方厘米，$h = 6$厘米
$V = \frac{1}{3}×27×6$
$= 9×6$
$= 54$（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是54立方厘米。
解析
【分析】
要计算圆锥的体积，首先需要回忆圆锥体积的计算公式：圆锥的体积等于底面积乘高再乘三分之一，即$V=\frac{1}{3}Sh$。题目中已经直接给出了圆锥的底面积$S=27$平方厘米和高$h=6$厘米，我们只需要将这两个已知数值代入公式，按照四则运算的顺序进行计算，就能得到圆锥的体积。
【解析】
圆锥体积公式为：$V = \frac{1}{3}Sh$
已知底面积$S = 27$平方厘米，高$h = 6$厘米，将数值代入公式：
$V = \frac{1}{3}×27×6$
$= 9×6$
$= 54$（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是54立方厘米。
【答案】
54立方厘米
【知识点】
圆锥体积公式应用
【点评】
本题是一道基础的立体图形体积计算题，直接考查圆锥体积公式的应用。解题关键是牢记圆锥体积公式，注意不要遗漏公式中的$\frac{1}{3}$，避免与圆柱体积公式混淆，只要准确代入已知数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要计算圆锥的体积，首先需要回忆圆锥体积的计算公式：圆锥的体积等于底面积乘高再乘三分之一，即$V=\frac{1}{3}Sh$。题目中已经直接给出了圆锥的底面积$S=27$平方厘米和高$h=6$厘米，我们只需要将这两个已知数值代入公式，按照四则运算的顺序进行计算，就能得到圆锥的体积。
【解析】
圆锥体积公式为：$V = \frac{1}{3}Sh$
已知底面积$S = 27$平方厘米，高$h = 6$厘米，将数值代入公式：
$V = \frac{1}{3}×27×6$
$= 9×6$
$= 54$（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是54立方厘米。
【答案】
54立方厘米
【知识点】
圆锥体积公式应用
【点评】
本题是一道基础的立体图形体积计算题，直接考查圆锥体积公式的应用。解题关键是牢记圆锥体积公式，注意不要遗漏公式中的$\frac{1}{3}$，避免与圆柱体积公式混淆，只要准确代入已知数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
3. 一堆圆锥形沙子，底面周长是 12.56 米，高 0.9 米。每立方米沙子重 1.6 吨，这堆沙子有多少吨？
答案
1. 底面半径：12.56÷3.14÷2=2（米）
2. 底面积：3.14×2²=12.56（平方米）
3. 圆锥体积：1/3×12.56×0.9=3.768（立方米）
4. 沙子重量：3.768×1.6=6.0288（吨）
答：这堆沙子有6.0288吨。
2. 底面积：3.14×2²=12.56（平方米）
3. 圆锥体积：1/3×12.56×0.9=3.768（立方米）
4. 沙子重量：3.768×1.6=6.0288（吨）
答：这堆沙子有6.0288吨。
解析
【分析】
要计算这堆沙子的重量，需先求出圆锥形沙子的体积，再用体积乘每立方米沙子的重量。具体思考步骤如下：
1. 已知底面周长，根据圆的周长公式$C=2π r$，可推导出底面半径$r=C÷π÷2$，先算出底面半径；
2. 利用圆的面积公式$S=π r^2$，计算出圆锥的底面积；
3. 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），求出沙子的体积；
4. 最后用沙子的体积乘每立方米沙子的重量，得到这堆沙子的总重量。
【解析】
1. 计算底面半径：
$12.56÷3.14÷2 = 2$（米）
2. 计算圆锥底面积：
$3.14×2^2 = 12.56$（平方米）
3. 计算圆锥体积：
$\frac{1}{3}×12.56×0.9 = 3.768$（立方米）
4. 计算沙子总重量：
$3.768×1.6 = 6.0288$（吨）
答：这堆沙子有6.0288吨。
【答案】
6.0288吨
【知识点】
圆锥体积计算、圆的周长与面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题是圆锥体积公式在实际生活中的综合应用，需要依次运用圆的周长、面积公式和圆锥体积公式分步计算，考察学生对几何公式的掌握情况及实际问题的分析解决能力，计算时需注意公式的正确运用和小数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
要计算这堆沙子的重量，需先求出圆锥形沙子的体积，再用体积乘每立方米沙子的重量。具体思考步骤如下：
1. 已知底面周长，根据圆的周长公式$C=2π r$，可推导出底面半径$r=C÷π÷2$，先算出底面半径；
2. 利用圆的面积公式$S=π r^2$，计算出圆锥的底面积；
3. 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），求出沙子的体积；
4. 最后用沙子的体积乘每立方米沙子的重量，得到这堆沙子的总重量。
【解析】
1. 计算底面半径：
$12.56÷3.14÷2 = 2$（米）
2. 计算圆锥底面积：
$3.14×2^2 = 12.56$（平方米）
3. 计算圆锥体积：
$\frac{1}{3}×12.56×0.9 = 3.768$（立方米）
4. 计算沙子总重量：
$3.768×1.6 = 6.0288$（吨）
答：这堆沙子有6.0288吨。
【答案】
6.0288吨
【知识点】
圆锥体积计算、圆的周长与面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题是圆锥体积公式在实际生活中的综合应用，需要依次运用圆的周长、面积公式和圆锥体积公式分步计算，考察学生对几何公式的掌握情况及实际问题的分析解决能力，计算时需注意公式的正确运用和小数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
4. 计算右边这个蒙古包的体积。（单位：米）
答案
解：
1. 计算圆柱体积
底面半径 $ r = 6 ÷ 2 = 3 \, \mathrm{m} $
圆柱高 $ h_1 = 2 \, \mathrm{m} $
圆柱体积 $ V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h_1 = 3.14 × 3^2 × 2 = 56.52 \, \mathrm{m}^3 $
2. 计算圆锥体积
圆锥高 $ h_2 = 1.8 \, \mathrm{m} $
圆锥体积 $ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h_2 = \frac{1}{3} × 3.14 × 3^2 × 1.8 = 16.956 \, \mathrm{m}^3 $
3. 蒙古包总体积
$ V = V_{\mathrm{圆柱}} + V_{\mathrm{圆锥}} = 56.52 + 16.956 = 73.476 \, \mathrm{m}^3 $
答：蒙古包的体积是 $ 73.476 \, \mathrm{m}^3 $。
1. 计算圆柱体积
底面半径 $ r = 6 ÷ 2 = 3 \, \mathrm{m} $
圆柱高 $ h_1 = 2 \, \mathrm{m} $
圆柱体积 $ V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h_1 = 3.14 × 3^2 × 2 = 56.52 \, \mathrm{m}^3 $
2. 计算圆锥体积
圆锥高 $ h_2 = 1.8 \, \mathrm{m} $
圆锥体积 $ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h_2 = \frac{1}{3} × 3.14 × 3^2 × 1.8 = 16.956 \, \mathrm{m}^3 $
3. 蒙古包总体积
$ V = V_{\mathrm{圆柱}} + V_{\mathrm{圆锥}} = 56.52 + 16.956 = 73.476 \, \mathrm{m}^3 $
答：蒙古包的体积是 $ 73.476 \, \mathrm{m}^3 $。
解析
【分析】
蒙古包是由圆柱和圆锥组合而成的立体图形，计算它的体积需分别求出圆柱部分与圆锥部分的体积，再将两部分体积相加。首先根据底面直径算出底面半径，之后分别代入圆柱、圆锥的体积公式计算各自体积，最后求和得到蒙古包的总体积。
【解析】
解：
1. 计算圆柱体积
底面半径 $ r = 6 ÷ 2 = 3 \, \mathrm{m} $
圆柱的高 $ h_1 = 2 \, \mathrm{m} $
根据圆柱体积公式$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h_1$，代入数据得：
$ V_{\mathrm{圆柱}} = 3.14 × 3^2 × 2 = 3.14×9×2 = 56.52 \, \mathrm{m}^3 $
2. 计算圆锥体积
圆锥的高 $ h_2 = 1.8 \, \mathrm{m} $
根据圆锥体积公式$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h_2$，代入数据得：
$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} × 3.14 × 3^2 × 1.8 = \frac{1}{3}×3.14×9×1.8 = 16.956 \, \mathrm{m}^3 $
3. 计算蒙古包的总体积
$ V = V_{\mathrm{圆柱}} + V_{\mathrm{圆锥}} = 56.52 + 16.956 = 73.476 \, \mathrm{m}^3 $
答：这个蒙古包的体积是$73.476$立方米。
【答案】
$73.476$立方米
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合立体图形的体积计算，核心是准确识别蒙古包的组成结构，熟练运用圆柱和圆锥的体积公式，精准获取各部分的底面半径与高来完成计算。
【难度系数】
0.7
蒙古包是由圆柱和圆锥组合而成的立体图形，计算它的体积需分别求出圆柱部分与圆锥部分的体积，再将两部分体积相加。首先根据底面直径算出底面半径，之后分别代入圆柱、圆锥的体积公式计算各自体积，最后求和得到蒙古包的总体积。
【解析】
解：
1. 计算圆柱体积
底面半径 $ r = 6 ÷ 2 = 3 \, \mathrm{m} $
圆柱的高 $ h_1 = 2 \, \mathrm{m} $
根据圆柱体积公式$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h_1$，代入数据得：
$ V_{\mathrm{圆柱}} = 3.14 × 3^2 × 2 = 3.14×9×2 = 56.52 \, \mathrm{m}^3 $
2. 计算圆锥体积
圆锥的高 $ h_2 = 1.8 \, \mathrm{m} $
根据圆锥体积公式$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h_2$，代入数据得：
$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} × 3.14 × 3^2 × 1.8 = \frac{1}{3}×3.14×9×1.8 = 16.956 \, \mathrm{m}^3 $
3. 计算蒙古包的总体积
$ V = V_{\mathrm{圆柱}} + V_{\mathrm{圆锥}} = 56.52 + 16.956 = 73.476 \, \mathrm{m}^3 $
答：这个蒙古包的体积是$73.476$立方米。
【答案】
$73.476$立方米
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合立体图形的体积计算，核心是准确识别蒙古包的组成结构，熟练运用圆柱和圆锥的体积公式，精准获取各部分的底面半径与高来完成计算。
【难度系数】
0.7
5. 一个圆锥形容器内装满汽油，把汽油倒出$\frac{2}{5}$，倒出的部分正好是 48 立方分米。这个容器的底面积是 60 平方分米，它的高是多少？
答案
1. 圆锥形容器的体积：$48÷\frac{2}{5}=120$（立方分米）
2. 圆锥的高：$120×3÷60=6$（分米）
答：它的高是6分米。
2. 圆锥的高：$120×3÷60=6$（分米）
答：它的高是6分米。
解析
【分析】
首先，我们需要明确解题的两个关键步骤：第一步，根据“倒出的汽油体积占容器总体积的$\frac{2}{5}$，且倒出体积为48立方分米”，利用分数除法的意义，用倒出的体积除以对应的分率，求出圆锥形容器的总体积；第二步，已知圆锥的体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$V$是体积，$S$是底面积，$h$是高），将公式变形为$h=\frac{3V}{S}$，代入求出的总体积和已知的底面积，即可计算出容器的高。
【解析】
1. 计算圆锥形容器的总体积：
已知倒出的汽油体积是48立方分米，占总体积的$\frac{2}{5}$，根据分数除法的意义，总体积为：
$48÷\frac{2}{5}=48×\frac{5}{2}=120$（立方分米）
2. 计算圆锥形容器的高：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形可得$h=\frac{3V}{S}$，将$V=120$立方分米，$S=60$平方分米代入：
$h=120×3÷60=360÷60=6$（分米）
答：它的高是6分米。
【答案】
6分米
【知识点】
圆锥体积计算，分数除法应用
【点评】
本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用以及分数除法的实际应用，解题的关键是先通过倒出体积与总体积的关系求出圆锥的总体积，再利用体积公式逆推求出高，需要学生熟练掌握相关公式和分数运算的意义。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要明确解题的两个关键步骤：第一步，根据“倒出的汽油体积占容器总体积的$\frac{2}{5}$，且倒出体积为48立方分米”，利用分数除法的意义，用倒出的体积除以对应的分率，求出圆锥形容器的总体积；第二步，已知圆锥的体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$V$是体积，$S$是底面积，$h$是高），将公式变形为$h=\frac{3V}{S}$，代入求出的总体积和已知的底面积，即可计算出容器的高。
【解析】
1. 计算圆锥形容器的总体积：
已知倒出的汽油体积是48立方分米，占总体积的$\frac{2}{5}$，根据分数除法的意义，总体积为：
$48÷\frac{2}{5}=48×\frac{5}{2}=120$（立方分米）
2. 计算圆锥形容器的高：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形可得$h=\frac{3V}{S}$，将$V=120$立方分米，$S=60$平方分米代入：
$h=120×3÷60=360÷60=6$（分米）
答：它的高是6分米。
【答案】
6分米
【知识点】
圆锥体积计算，分数除法应用
【点评】
本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用以及分数除法的实际应用，解题的关键是先通过倒出体积与总体积的关系求出圆锥的总体积，再利用体积公式逆推求出高，需要学生熟练掌握相关公式和分数运算的意义。
【难度系数】
0.7
