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14.(8分)如图,已知$\triangle ABC$是边长为$3cm$的等边三角形,动点$P,Q$同时从$A,B$两点出发,分别沿$AB,BC$方向匀速移动,它们的速度都是$1cm/s$,当点$P$到达点$B$时,$P,Q$两点停止运动.设点$P$的运动时间为$t s$,当$t$为何值时,$\triangle PBQ$是直角三角形?
答案
t=1或t=2
解析
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=3cm，∠ABC=60°．
由题意得：AP=t cm，BQ=t cm，
∴PB=AB-AP=(3-t)cm，BQ=t cm（0≤t≤3）．
情况1：∠BPQ=90°
在Rt△PBQ中，∠PBQ=60°，∠BPQ=90°，
∴∠BQP=30°．
∵30°角所对直角边是斜边的一半，
∴PB=½BQ．
即3-t=½t，解得t=2．
情况2：∠BQP=90°
在Rt△PBQ中，∠PBQ=60°，∠BQP=90°，
∴∠BPQ=30°．
∵30°角所对直角边是斜边的一半，
∴BQ=½PB．
即t=½(3-t)，解得t=1．
综上，t=1s或t=2s时，△PBQ是直角三角形．
由题意得：AP=t cm，BQ=t cm，
∴PB=AB-AP=(3-t)cm，BQ=t cm（0≤t≤3）．
情况1：∠BPQ=90°
在Rt△PBQ中，∠PBQ=60°，∠BPQ=90°，
∴∠BQP=30°．
∵30°角所对直角边是斜边的一半，
∴PB=½BQ．
即3-t=½t，解得t=2．
情况2：∠BQP=90°
在Rt△PBQ中，∠PBQ=60°，∠BQP=90°，
∴∠BPQ=30°．
∵30°角所对直角边是斜边的一半，
∴BQ=½PB．
即t=½(3-t)，解得t=1．
综上，t=1s或t=2s时，△PBQ是直角三角形．
