登录
17.(4分)如图，在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$AB = 10$，$BC = 6$，$CD // AB$，$\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$E$.求$DE$的长.
答案
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because CD// AB$，$\therefore \angle ABD=\angle BDC$（内错角相等）。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD=\angle CBD$，故$\angle CBD=\angle BDC$，
$\therefore \triangle BCD$为等腰三角形，$CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，$\therefore \triangle ABE\sim\triangle CDE$（AA相似，$\angle BAE=\angle DCE$，$\angle AEB=\angle CED$），
相似比为$AB:CD=10:6=5:3$，$\therefore AE:EC=BE:ED=5:3$。
设$AE=5k$，$EC=3k$，则$5k+3k=AC=8$，解得$k=1$，$\therefore EC=3$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC=6$，$EC=3$，$\angle BCE=90°$，
$\therefore BE=\sqrt{BC^2+EC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
设$BE=5m$，$ED=3m$，则$5m=3\sqrt{5}$，解得$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore DE=3m=3×\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because CD// AB$，$\therefore \angle ABD=\angle BDC$（内错角相等）。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD=\angle CBD$，故$\angle CBD=\angle BDC$，
$\therefore \triangle BCD$为等腰三角形，$CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，$\therefore \triangle ABE\sim\triangle CDE$（AA相似，$\angle BAE=\angle DCE$，$\angle AEB=\angle CED$），
相似比为$AB:CD=10:6=5:3$，$\therefore AE:EC=BE:ED=5:3$。
设$AE=5k$，$EC=3k$，则$5k+3k=AC=8$，解得$k=1$，$\therefore EC=3$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC=6$，$EC=3$，$\angle BCE=90°$，
$\therefore BE=\sqrt{BC^2+EC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
设$BE=5m$，$ED=3m$，则$5m=3\sqrt{5}$，解得$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore DE=3m=3×\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because CD// AB$，$\therefore \angle ABD=\angle BDC$（内错角相等）。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD=\angle CBD$，故$\angle CBD=\angle BDC$，
$\therefore \triangle BCD$为等腰三角形，$CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，$\therefore \triangle ABE\sim\triangle CDE$（AA相似，$\angle BAE=\angle DCE$，$\angle AEB=\angle CED$），
相似比为$AB:CD=10:6=5:3$，$\therefore AE:EC=BE:ED=5:3$。
设$AE=5k$，$EC=3k$，则$5k+3k=AC=8$，解得$k=1$，$\therefore EC=3$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC=6$，$EC=3$，$\angle BCE=90°$，
$\therefore BE=\sqrt{BC^2+EC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
设$BE=5m$，$ED=3m$，则$5m=3\sqrt{5}$，解得$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore DE=3m=3×\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because CD// AB$，$\therefore \angle ABD=\angle BDC$（内错角相等）。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD=\angle CBD$，故$\angle CBD=\angle BDC$，
$\therefore \triangle BCD$为等腰三角形，$CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，$\therefore \triangle ABE\sim\triangle CDE$（AA相似，$\angle BAE=\angle DCE$，$\angle AEB=\angle CED$），
相似比为$AB:CD=10:6=5:3$，$\therefore AE:EC=BE:ED=5:3$。
设$AE=5k$，$EC=3k$，则$5k+3k=AC=8$，解得$k=1$，$\therefore EC=3$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC=6$，$EC=3$，$\angle BCE=90°$，
$\therefore BE=\sqrt{BC^2+EC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
设$BE=5m$，$ED=3m$，则$5m=3\sqrt{5}$，解得$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore DE=3m=3×\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
18.(6分)某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳4种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为
(3)现拟从甲、乙、丙、丁4人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
根据以上信息解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有
180
人.(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为
126
.(3)现拟从甲、乙、丙、丁4人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
答案
(1)180
(2)126
(3)列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | - | (甲,乙) | (甲,丙) | (甲,丁) |
| 乙 | (乙,甲) | - | (乙,丙) | (乙,丁) |
| 丙 | (丙,甲) | (丙,乙) | - | (丙,丁) |
| 丁 | (丁,甲) | (丁,乙) | (丁,丙) | - |
共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙的有2种，概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2)126
(3)列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | - | (甲,乙) | (甲,丙) | (甲,丁) |
| 乙 | (乙,甲) | - | (乙,丙) | (乙,丁) |
| 丙 | (丙,甲) | (丙,乙) | - | (丙,丁) |
| 丁 | (丁,甲) | (丁,乙) | (丁,丙) | - |
共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙的有2种，概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
