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1. 计算$a^2(a+b)(a-b)+a^2b^2$ 的结果为(
A.$a^4$
B.$a^6$
C.$ a^2b^2$
D.$a^2-b^2$
A
).A.$a^4$
B.$a^6$
C.$ a^2b^2$
D.$a^2-b^2$
答案
A
解析
首先根据平方差公式，$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，代入原式得：
$a^2(a+b)(a-b) + a^2b^2 = a^2(a^2 - b^2) + a^2b^2$，
接着，根据乘法分配律展开并合并同类项：
$a^2(a^2 - b^2) + a^2b^2 = a^4 - a^2b^2 + a^2b^2 = a^4$。
$a^2(a+b)(a-b) + a^2b^2 = a^2(a^2 - b^2) + a^2b^2$，
接着，根据乘法分配律展开并合并同类项：
$a^2(a^2 - b^2) + a^2b^2 = a^4 - a^2b^2 + a^2b^2 = a^4$。
2. 如图,从边长为$(a+1)$的正方形纸片中剪去一边长为$(a-1)$的小正方形$(a＞1)$,将剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则该长方形的面积为(
A.2
B.2a
C.4a
D.$a^2-1$
C
).A.2
B.2a
C.4a
D.$a^2-1$
答案
C
解析
原大正方形的边长为 $a+1$，其面积为 $(a+1)^2$。
被剪去的小正方形的边长为 $a-1$，其面积为 $(a-1)^2$。
剩余部分的面积即为大正方形面积减去小正方形面积，即：
$(a+1)^2 - (a-1)^2$
利用平方差公式，有：
$(a+1+a-1)(a+1-(a-1)) = 2a × 2 = 4a$
所以，拼成的长方形的面积为 $4a$。
被剪去的小正方形的边长为 $a-1$，其面积为 $(a-1)^2$。
剩余部分的面积即为大正方形面积减去小正方形面积，即：
$(a+1)^2 - (a-1)^2$
利用平方差公式，有：
$(a+1+a-1)(a+1-(a-1)) = 2a × 2 = 4a$
所以，拼成的长方形的面积为 $4a$。
3. 下列计算正确的是(
A.$(a-b)^2=a^2-b^2$
B.$(a+2b)^2=a^2+2ab+4b^2$
C.$(a^2-1)^2=a^4-2a^2+1$
D.$(-a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C
).A.$(a-b)^2=a^2-b^2$
B.$(a+2b)^2=a^2+2ab+4b^2$
C.$(a^2-1)^2=a^4-2a^2+1$
D.$(-a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
答案
C
解析
根据完全平方公式$(m\pm n)^2 = m^2\pm 2mn + n^2$对各选项逐一分析。
选项A：$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\neq a^2 - b^2$，所以A选项错误。
选项B：$(a + 2b)^2=a^2+4ab + 4b^2\neq a^2+2ab + 4b^2$，所以B选项错误。
选项C：$(a^2 - 1)^2=(a^2)^2-2× a^2×1 + 1^2=a^4 - 2a^2+1$，所以C选项正确。
选项D：$(-a + b)^2=(b - a)^2=b^2-2ab + a^2\neq a^2+2ab + b^2$，所以D选项错误。
选项A：$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\neq a^2 - b^2$，所以A选项错误。
选项B：$(a + 2b)^2=a^2+4ab + 4b^2\neq a^2+2ab + 4b^2$，所以B选项错误。
选项C：$(a^2 - 1)^2=(a^2)^2-2× a^2×1 + 1^2=a^4 - 2a^2+1$，所以C选项正确。
选项D：$(-a + b)^2=(b - a)^2=b^2-2ab + a^2\neq a^2+2ab + b^2$，所以D选项错误。
4. 已知$4x^2+4mx+36$ 是完全平方式,则$m$的值为(
A.2
B.$\pm 2$
C.-6
D.$\pm 6$
D
).A.2
B.$\pm 2$
C.-6
D.$\pm 6$
答案
D
解析
因为$4x^2 + 4mx + 36$是完全平方式，可变形为$(2x)^2 + 4mx + 6^2$。根据完全平方公式$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，中间项$4mx = \pm 2×2x×6$，即$4mx = \pm 24x$，所以$4m = \pm 24$，解得$m = \pm 6$。
5. 已知$a,b$是整数,则$2(a^2+b^2)-(a+b)^2$的值总是(
A.正整数
B.负整数
C.非负整数
D.4的整数倍
C
).A.正整数
B.负整数
C.非负整数
D.4的整数倍
答案
C
解析
将原式展开得：
$2(a^2 + b^2) - (a + b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
由于平方数总是非负整数，因此原式的值总是非负整数。
$2(a^2 + b^2) - (a + b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
由于平方数总是非负整数，因此原式的值总是非负整数。
6. 已知$a+b=3$,$ab=2$,则$(a-b)^2=$
1
.答案
1
解析
已知$a+b=3$，$ab=2$，需要求$(a-b)^2$的值。
根据完全平方公式，$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
同时，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
可以通过$(a+b)^2$和$4ab$来求出$(a-b)^2$，即：
$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$。
将已知的$a+b=3$和$ab=2$代入上式，得：
$(a-b)^2 = 3^2 - 4 × 2 = 9 - 8 = 1$。
根据完全平方公式，$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
同时，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
可以通过$(a+b)^2$和$4ab$来求出$(a-b)^2$，即：
$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$。
将已知的$a+b=3$和$ab=2$代入上式，得：
$(a-b)^2 = 3^2 - 4 × 2 = 9 - 8 = 1$。
7. 若$x^2+8x+m=(x+n)^2$(m,n均为常数),则$m=$
16
,$n=$4
.答案
【解析】：
将右边的完全平方展开，得$(x+n)^2=x^2+2nx+n^2$。
与左边的$x^2+8x+m$对比，可得：
$2n=8$，即$n=4$。
$m=n^2$，即$m=4^2=16$。
【答案】：
$m$的答案填在第一个下划线，值为$16$；$n$的答案填在第二个下划线，值为$4$，由于本题是填空题，按照要求这里填写值，即：
【答案】：16，4
将右边的完全平方展开，得$(x+n)^2=x^2+2nx+n^2$。
与左边的$x^2+8x+m$对比，可得：
$2n=8$，即$n=4$。
$m=n^2$，即$m=4^2=16$。
【答案】：
$m$的答案填在第一个下划线，值为$16$；$n$的答案填在第二个下划线，值为$4$，由于本题是填空题，按照要求这里填写值，即：
【答案】：16，4
8. 若$m=2n+1$,则$m^2-4mn+4n^2$的值是
1
.答案
1
解析
因为$m = 2n + 1$，所以$m - 2n = 1$。
$m^2 - 4mn + 4n^2 = (m - 2n)^2$，将$m - 2n = 1$代入得$1^2 = 1$。
$m^2 - 4mn + 4n^2 = (m - 2n)^2$，将$m - 2n = 1$代入得$1^2 = 1$。
9. 已知$2x+y=1$,代数式$(y+1)^2-(y^2-4x)$的值为
3
.答案
3
解析
原式=$(y^2 + 2y + 1) - y^2 + 4x = 2y + 1 + 4x = 2(2x + y) + 1$，
因为$2x + y = 1$，所以原式=$2×1 + 1 = 3$。
因为$2x + y = 1$，所以原式=$2×1 + 1 = 3$。
10.将图①中阴影部分的小长方形变换到图②的位置,根据两个图形的面积关系得到的数学公式是
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
.答案
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
解析
图①阴影部分面积为$(a + b)(a - b)$，图②阴影部分面积为$a^2 - b^2$，两者面积相等，故公式为$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
