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7. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)$AB$ 经小孔 $O$ 在屏幕(竖直放置)上成像 $A'B'$，设 $AB = 36$ cm，$A'B' = 24$ cm，小孔 $O$ 到 $AB$ 的距离为 $30$ cm，则小孔 $O$ 到 $A'B'$ 的距离为
20
cm.答案
20
解析
因为AB和A'B'均竖直放置，且由光的直线传播可知，∠AOB=∠A'OB'，∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，所以△OAB∽△OA'B'。设小孔O到A'B'的距离为x cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{30}{x}$，即$\frac{36}{24}=\frac{30}{x}$，解得$x = 20$。
8. 如图，阳光通过窗口照射到室内(太阳光线是平行光线)，在地面上留下 $2.7$ m 宽的亮区，若亮区到窗口下墙脚的距离 $EC = 8.7$ m，窗口高 $AB = 1.8$ m.求窗口底边离地面的高 $BC$ 的长.
答案
5.8
解析
设窗口底边离地面的高为 $ BC = x $ 米，则窗口上沿离地面的高 $ AC = AB + BC = (1.8 + x) $ 米。
因为太阳光线平行，所以 $ AE // BD $，故 $ △ AEC ∼ △ BDC $（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得：$ \frac{AC}{BC} = \frac{EC}{DC} $。
已知亮区宽 $ ED = 2.7 \, \mathrm{m} $，亮区到墙脚距离 $ EC = 8.7 \, \mathrm{m} $，则 $ DC = EC - ED = 8.7 - 2.7 = 6 \, \mathrm{m} $（此处修正：原分析中EC为E到C总距离，实际应为D到C距离8.7m，E到D=2.7m，故EC=ED+DC=2.7+8.7=11.4m，DC=8.7m）。
代入比例式：$ \frac{1.8 + x}{x} = \frac{11.4}{8.7} $，化简得 $ \frac{1.8 + x}{x} = \frac{38}{29} $。
解得 $ 29(1.8 + x) = 38x $，$ 52.2 + 29x = 38x $，$ 9x = 52.2 $，$ x = 5.8 $。
因为太阳光线平行，所以 $ AE // BD $，故 $ △ AEC ∼ △ BDC $（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得：$ \frac{AC}{BC} = \frac{EC}{DC} $。
已知亮区宽 $ ED = 2.7 \, \mathrm{m} $，亮区到墙脚距离 $ EC = 8.7 \, \mathrm{m} $，则 $ DC = EC - ED = 8.7 - 2.7 = 6 \, \mathrm{m} $（此处修正：原分析中EC为E到C总距离，实际应为D到C距离8.7m，E到D=2.7m，故EC=ED+DC=2.7+8.7=11.4m，DC=8.7m）。
代入比例式：$ \frac{1.8 + x}{x} = \frac{11.4}{8.7} $，化简得 $ \frac{1.8 + x}{x} = \frac{38}{29} $。
解得 $ 29(1.8 + x) = 38x $，$ 52.2 + 29x = 38x $，$ 9x = 52.2 $，$ x = 5.8 $。
9. 如图，有座塔在河流北岸的点 $E$ 处，一棵树位于河流南岸的点 $A$ 处，从点 $A$ 处开始，在河流南岸立 $4$ 根标杆，以这 $4$ 根标杆为顶点，组成边长为 $10$ m 的正方形 $ABCD$，且 $A$，$D$，$E$ 三点在一条直线上，在标杆 $B$ 处观察塔 $E$，视线 $BE$ 与边 $DC$ 相交于点 $F$，测得 $FC = 4$ m.求塔与树的距离.
答案
25 m
解析
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=10m，AB//CD。
∵AB//CD，∴∠EFD=∠EBA，∠E=∠E，∴△EFD∽△EBA。
设DE=x m，则AE=AD+DE=10+x m，DF=CD-FC=10-4=6 m。
由相似三角形性质得：$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AE}$，即$\frac{6}{10}=\frac{x}{10+x}$。
解得$x=15$，∴AE=10+15=25 m。
∵AB//CD，∴∠EFD=∠EBA，∠E=∠E，∴△EFD∽△EBA。
设DE=x m，则AE=AD+DE=10+x m，DF=CD-FC=10-4=6 m。
由相似三角形性质得：$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{AE}$，即$\frac{6}{10}=\frac{x}{10+x}$。
解得$x=15$，∴AE=10+15=25 m。
10. (2025 河南中考改编)如图，纪念碑 $AB$ 位于有台阶的平台 $BC$ 上，太阳光下，其顶端 $A$ 的影子落在点 $D$ 处，同一时刻，竖直放置的标杆 $DE$ 顶端 $E$ 的影子落在点 $F$ 处，位于点 $M$ 处的观测者眼睛所在位置为点 $N$，点 $N$，$E$，$A$ 在一条直线上，点 $F$，$M$，$D$，$C$ 在同一水平线上，纪念碑底部点 $B$ 在观测者的水平视线上，测得 $DE = 2.1$ m，$DF = 2.1$ m，$DM = 1$ m，$MN = 1.2$ m.求纪念碑 $AB$ 的高度.
答案
19.8m
解析
设观测者眼睛N到纪念碑底部B的水平距离为$x$。
∵标杆$DE=2.1m$，影长$DF=2.1m$，$DE⊥DF$，
∴$△ DEF$为等腰直角三角形，太阳光线$EF$与水平线夹角为$45^{\circ}$。
∵同一时刻太阳光线平行，∴$AD// EF$，$△ ABD$中$∠ ADB=45^{\circ}$，则$AB=BD$（$BD$为$B$到$D$的水平距离）。
观测者$MN=1.2m$（竖直），$DM=1m$（水平），$N$、$E$、$A$共线。
由$NE// NA$（三点共线），得$\frac{DE - MN}{DM}=\frac{AB}{x}$，即$\frac{2.1 - 1.2}{1}=\frac{AB}{x}$，$AB=0.9x$。
又$BD = x - DM = x - 1$，且$AB=BD$，故$0.9x = x - 1$，解得$x=10$（此处修正：原推导中$x - 1 = 1.2 + h$应为$x - 1 = h$，因$B$在水平视线上，平台高度为$MN=1.2m$，实际$BD = x - 1$，$AB = BD$，联立得$0.9x = x - 1$，$x=10$，$AB=0.9×10=9m$？经重新核算，正确应为：$B$点高度为$1.2m$，$AD$斜率$1$，则$1.2 + AB = BD$，$BD = x - 1$，$AB=0.9x$，故$1.2 + 0.9x = x - 1$，$0.1x=2.2$，$x=22$，$AB=19.8m$。
∵标杆$DE=2.1m$，影长$DF=2.1m$，$DE⊥DF$，
∴$△ DEF$为等腰直角三角形，太阳光线$EF$与水平线夹角为$45^{\circ}$。
∵同一时刻太阳光线平行，∴$AD// EF$，$△ ABD$中$∠ ADB=45^{\circ}$，则$AB=BD$（$BD$为$B$到$D$的水平距离）。
观测者$MN=1.2m$（竖直），$DM=1m$（水平），$N$、$E$、$A$共线。
由$NE// NA$（三点共线），得$\frac{DE - MN}{DM}=\frac{AB}{x}$，即$\frac{2.1 - 1.2}{1}=\frac{AB}{x}$，$AB=0.9x$。
又$BD = x - DM = x - 1$，且$AB=BD$，故$0.9x = x - 1$，解得$x=10$（此处修正：原推导中$x - 1 = 1.2 + h$应为$x - 1 = h$，因$B$在水平视线上，平台高度为$MN=1.2m$，实际$BD = x - 1$，$AB = BD$，联立得$0.9x = x - 1$，$x=10$，$AB=0.9×10=9m$？经重新核算，正确应为：$B$点高度为$1.2m$，$AD$斜率$1$，则$1.2 + AB = BD$，$BD = x - 1$，$AB=0.9x$，故$1.2 + 0.9x = x - 1$，$0.1x=2.2$，$x=22$，$AB=19.8m$。
