【问题背景】(1)如图 1,已知$△ ABC ∽ △ ADE$,求证:$△ ABD ∽ △ ACE$;
【尝试应用】(2)如图 2,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$∠ BAC = ∠ DAE = 90^{\circ}$,$∠ ABC = ∠ ADE = 30^{\circ}$,$AC$与$DE$相交于点$F$,且点$D$在$BC$边上,$\frac{AD}{BD} = \sqrt{3}$,求$\frac{DF}{CF}$的值;
【拓展创新】(3)如图 3,$D$是$△ ABC$内一点,$∠ BAD = ∠ CBD = 30^{\circ}$,$∠ BDC = 90^{\circ}$,$AB = 4$,$AC = 2\sqrt{3}$,直接写出$AD$的长.

(1)证明见解析；(2)3；(3)2

(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，AB/AD=AC/AE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。
(2)设BD=k，AD=√3k，在Rt△ABC中设AC=a，AB=√3a，BC=2a。由余弦定理得(√3k)²=a²+(2a−k)²−2a(2a−k)·1/2，化简得2k²+3ak−3a²=0，解得k=a(√33−3)/4。由△ABD∽△ACE得CE=k/√3，∠ACE=30°。在△DFC和△EFC中，由正弦定理得DF/CF=3。
(3)构造相似及利用正弦定理、余弦定理求解得AD=2。