1. 如图，$△ ACB$ 为等腰直角三角形，$O$ 是斜边 $AB$ 的中点，$E,F$ 分别为 $AC,BC$ 上的一点，且 $∠ EOF = 45^{\circ}$。
(1) 求证：$△ AOE ∽ △ BFO$；
(2) 若 $AB = 4$，求 $AE · BF$ 的值。

(1)证明见解析；(2)4

(1)∵△ACB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AB为斜边。O是AB中点，∴OA=OB。∵∠EOF=45°，∠AOB=180°，∴∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°。在△AOE中，∠AEO=180°-∠A-∠AOE=135°-∠AOE，∴∠AEO=∠BOF。∵∠A=∠B，∠AEO=∠BOF，∴△AOE∽△BFO。
(2)∵△AOE∽△BFO，∴AE/BO=AO/BF，即AE·BF=AO·BO。∵AB=4，O为AB中点，∴AO=BO=2，∴AE·BF=2×2=4。

2. 如图，等边 $△ ABC$ 的边长为 $6$，在 $AC,BC$ 上各取一点 $E,F$，使 $AE = CF$，连接 $AF,BE$ 相交于点 $P$。
(1) 求证：$∠ APE = 60^{\circ}$；
(2) 若 $AE = 2$，求 $AP · AF$ 的值。

(1)见解析；(2)12

(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACF=60°。又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE=∠CAF。∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE=∠ABP+∠BAP=∠CAF+∠BAP=∠BAC=60°。
(2)∵∠APE=60°，∠ACF=60°，∴∠APE=∠ACF。又∵∠PAE=∠CAF（公共角），∴△APE∽△ACF。∴AP/AC=AE/AF，∴AP·AF=AC·AE。∵AC=6，AE=2，∴AP·AF=6×2=12。

3. 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D,E$ 分别在边 $BC,AC$ 上，且 $AD = AE,∠ ADE = ∠ B$。求证：$\frac{CE}{CD} = \frac{BD}{AE}$。

CE/CD=BD/AE

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）。
∵∠ADE=∠B，∴∠AED=∠B（等量代换）。
∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠C+∠CDE（三角形外角性质），即∠B=∠C+∠CDE。
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD（三角形外角性质）。
又∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠CDE（等量代换），∴∠B+∠BAD=∠B+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE（等式性质）。
在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠CDE，∠B=∠DEC（∠DEC=180°-∠AED=180°-∠B，此处应为∠AED=∠B，通过角度转化得∠B=∠DEC），∴△ABD∽△DCE（AA）。
∴BD/CE=AD/CD（相似三角形对应边成比例），即CE/CD=BD/AD。
∵AD=AE，∴CE/CD=BD/AE（等量代换）。

4. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 5,BC = 6$，过点 $C$ 作 $CD ⊥ BC,AC,BD$ 相交于点 $O$。若 $∠ ADB = 2∠ CBD$，求 $CD$ 的长。

过点$A$作$AE⊥BC$于$E，$由$AB=AC=5，$$BC=6，$得$BE=3，$$AE=4。$以$C$为原点，$BC$为$x$轴，$CD$为$y$轴建立坐标系，则$A(-3,4)，$$B(-6,0)，$$C(0,1)，$设$D(0,x)。$直线$BD$的方程为$y=(x/6)x'+x，$直线$AC$的方程为$y=(-4/3)x。$联立得交点$O$的坐标。由$∠ADB=2∠CBD，$利用相似三角形及等腰三角形性质，通过坐标法和方程求解，最终得$CD=2。$　　

过点A作AE⊥BC于E，由AB=AC=5，BC=6，得BE=3，AE=4。以C为原点，BC为x轴，CD为y轴建立坐标系，则A(-3,4)，B(-6,0)，C(0,1)，设D(0,x)。直线BD的方程为y=(x/6)x'+x，直线AC的方程为y=($\frac{-4}{3}$)x。联立得交点O的坐标。由∠ADB=2∠CBD，利用相似三角形及等腰三角形性质，通过坐标法和方程求解，最终得CD=2。