教材母题 (九上 $ \mathrm{P}_{89}\mathrm{T}_{2} $ 改编) 如图，$ \odot O $ 的半径为 $ r $，$ △ ABC $ 是 $ \odot O $ 的内接三角形.
(1) 设 $ ∠ ACB = α $，$ AB = a $，求证：$ \sin α = \dfrac{a}{2r} $；
(2) 作 $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，若 $ r = 3 $，$ AC = 4\sqrt{2} $，求 $ \sin ∠ BCD $ 的值.

(1)
(2)

(1)证明见解析；(2)1/3

(1)连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则AE=2r，∠ABE=90°（直径所对圆周角是直角）。∵∠AEB=∠ACB=α（同弧所对圆周角相等），在Rt△ABE中，sinα=AB/AE=a/(2r)。
(2)由(1)知AC/sin∠B=2r（正弦定理），∵r=3，AC=4√2，∴sin∠B=AC/(2r)=4√2/6=2√2/3。∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，则∠BCD=90°-∠B，∴sin∠BCD=sin(90°-∠B)=cos∠B。∵cos∠B=√(1-sin²∠B)=√(1-(8/9))=1/3，∴sin∠BCD=1/3。

【教材变式 1】 如图，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ CD $ 为 $ \odot O $ 的弦，直线 $ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ P $.
(1) 求证：$ △ DPC ∼ △ BPA $；
(2) 若 $ AB = 10 $，$ CD = 6 $，求 $ \tan ∠ APC $ 的值.

(1)证明见解析；(2)4/3

(1)∵∠DPC=∠BPA（对顶角相等），∠PCD=∠PAB（同弧BD所对的圆周角相等），∴△DPC∽△BPA（AA）。
(2)连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°。由(1)知△DPC∽△BPA，相似比为CD/AB=6/10=3/5，设PD=3x，PA=5x，PC=3y，PB=5y，则AD=2x，BC=2y。由割线定理得PA·PD=PC·PB，即15x²=15y²，∴x=y，故AD=BC=2x。
∵△DPC∽△BPA，∴∠PDC=∠PAB，∴CD//AB。过O作OE⊥CD于E，OE=√(OC²-CE²)=√(5²-3²)=4，即AB与CD间距离为4。梯形ACBD中，腰AD=√(4²+[(10-6)/2]²)=2√5，∴x=√5。
在Rt△ACB中，AC=√(AB²-BC²)=√(10²-(2√5)²)=4√5，PC=3x=3√5，∴tan∠APC=AC/PC=4√5/(3√5)=4/3。

【教材变式 2】 (九上 $ \mathrm{P}_{89}\mathrm{T}_{3} $ 改编) 如图，$ △ ABC $ 内接于 $ \odot O $，$ AB = AC $，连接 $ AO $.
(1) 求证：$ AO ⊥ BC $；
(2) $ CO $ 的延长线交 $ AB $ 于点 $ D $，若 $ \tan ∠ BAC = \dfrac{3}{4} $，求 $ \dfrac{AD}{DB} $ 的值.

(1)证明见解析；(2)5/8

(1)连接OB、OC.∵AB=AC，OA=OA，OB=OC，∴△OAB≌△OAC(SSS).∴∠BAO=∠CAO.∵AB=AC，∴AO⊥BC(等腰三角形顶角平分线垂直于底边).
(2)设BC中点为E，以E为原点，BC为x轴，AE为y轴建系.设BE=EC=x，由tan∠BAC=3/4，设AE=4k，BC=3k(或用二倍角公式得tan∠BAE=1/3，设BE=x，AE=3x).设O在AE上，坐标(0,m).由OA=OB，(3x - m)²=x² + m²，解得m=4x/3.直线CO：y=-4/3(x - x)=-4/3x + 4x/3；直线AB：y=3x + 3x.联立得D(-5x/13,24x/13).计算AD=5x√10/13，DB=8x√10/13，故AD/DB=5/8.