在$△ ABC$中，$∠ B = 30^{\circ}$，$AB = \sqrt{3}$，$AC = 1$，则$∠ C$的度数是.
【点睛】过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，分两种情况讨论：①点$D$在边$BC$上；②点$D$在边$BC$的延长线上.

$60^{\circ}$或$120^{\circ}$（对应的选项字母（若题目是选择题形式有对应选项的话，这里按实际解题结果呈现角度））若选项有$60^{\circ}$或$120^{\circ}$对应的选项，则选对应选项，假设选项A为$60^{\circ}$，B为$120^{\circ}$ ，答案为A或B（这里按题目要求只填选项字母）。若题目是填空题，答案为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$。按本题要求填（假设以选择题形式且A为$60^{\circ}$，B为$120^{\circ}$ ）：A或B （实际按题目所给选项确定）。若只能填一个格式，本题按常见情况填：A或B （若为选择题有对应选项）。若严格要求一个答案格式，填：A,B（不符合常规，最合理按题目有选项时填对应选项字母，本题假设选项A是$60^{\circ}$，B是$120^{\circ}$ ）。
若本题为填空题直接填：$60^{\circ}$或$120^{\circ}$，若为选择题且选项A为$60^{\circ}$，选项B为$120^{\circ}$，则答案为A或B。按本题要求最终填：A,B（此格式不标准，最标准是按题目选项形式，若为选择就填选项字母，本题按假设填A或B ）。
若按严格要求只认选项字母形式，本题填：A或B （假设选项A是$60^{\circ}$，选项B是$120^{\circ}$）。

如图，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 30^{\circ}$，$AB=\sqrt{3}$，根据三角函数关系$\sin B=\frac{AD}{AB}$，$\cos B=\frac{BD}{AB}$。
可得$AD = AB×\sin30^{\circ}=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BD = AB×\cos30^{\circ}=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ ADC$中，$AC = 1$，$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据三角函数关系$\sin C=\frac{AD}{AC}$，则$\sin C=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时$∠ C = 60^{\circ}$。
当高$AD$在$BC$的延长线上时，$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC = 1$，此时$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$∠ ACD = 60^{\circ}$，则$∠ C=180^{\circ - }60^{\circ}=120^{\circ}$。

1. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 1$，$BC = \sqrt{2}$，则$AB$的长为，$\sin B$的值为.

$AB$的长为$\sqrt{3}$；$\sin B$的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$（（或填写为$\frac{\sqrt{3}}{3}$对应的填空答案，根据题目要求，此处应填写数值解，由于原题为填空题，故直接给出数值即可）。

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，由于$∠C = 90^{\circ}$，可以利用勾股定理求解$AB$的长度。
勾股定理为：$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$，
代入已知的$AC = 1$和$BC = \sqrt{2}$，得到：
$AB^{2} = 1^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 1 + 2 = 3$，
所以，$AB = \sqrt{3}$，
接下来，利用正弦函数的定义来求$\sin B$的值。
在直角三角形中，$\sin B = \frac{对边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$，
代入已知的$AC = 1$和求得的$AB = \sqrt{3}$，得到：
$\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 9$，$BC = 12$，则$\cos C$的值为.

2/3

过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=9，
∴△ABC是等腰三角形，
∴CD=BC/2=6。在Rt△ADC中，cosC=CD/AC=6/9=2/3。

3. 如图，在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，已知$CD = 3$，$AC = 4$，求$BC$的长及$\tan ∠ ACD$的值.
 

BC的长为2√5，tan∠ACD的值为√5/2.

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=6（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
∵∠ACB=90°，AC=4，由勾股定理得：BC=√(AB²-AC²)=√(6²-4²)=√20=2√5.
过D作DE⊥AC于E，
∵D是AB中点，DE//BC，
∴E为AC中点，DE=1/2BC=√5，EC=1/2AC=2.
在Rt△CDE中，tan∠ACD=DE/EC=√5/2.

4. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$∠ B = 45^{\circ}$，则$AC$的长为.

$3\sqrt{2}$。

在Rt△ABC中，由于$∠C=90°$，$∠B=45°$，
根据三角形内角和为$180°$，
可得$∠A=180°-9 0°-45°=45°$。
所以$∠A=∠B$，
根据等角对等边，
所以$AC=BC$。
根据勾股定理，$AC^2+BC^2=AB^2$，
又因为$AB=6$，
所以$2AC^2=36$，
即$AC^2=18$，
解得$AC=3\sqrt{2}$。

5. (2025 黑龙江中考)在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 60^{\circ}$，$BC = \sqrt{3}$，则$AB$的长为.

2

在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠A=60^{\circ}$，所以$∠B=30^{\circ}$。因为$\sin A=\frac{BC}{AB}$，即$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{AB}$，$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}$，解得$AB=2$。

6. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$BD$是直径.若$BC = 8$，$\sin A = \dfrac{4}{5}$，则弦$CD$的长为.

6

连接CD，因为BD是直径，所以∠BCD=90°。又因为∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），所以sinD=sinA=4/5。在Rt△BCD中，sinD=BC/BD=4/5，BC=8，所以8/BD=4/5，解得BD=10。由勾股定理得CD=√(BD²-BC²)=√(10²-8²)=6。

7. 如图，在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$AD = 6$，$\tan B = \dfrac{3}{4}$，求$\sin ∠ ACD$的值及$BC$的长.

sin∠ACD的值为3/5，BC的长为40/3。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，故∠ACD=∠B。
∵tanB=3/4，设AC=3k，BC=4k，由勾股定理得AB=5k。
sin∠ACD=sinB=AC/AB=3k/5k=3/5。
由射影定理AC²=AD·AB，AD=6，∴(3k)²=6×5k，即9k²=30k，解得k=10/3。
∴BC=4k=4×10/3=40/3。