5.如图,$l // m$,等边$\triangle ABC$的顶点$B$在直线$m$上,边$BC$与直线$m$所夹锐角为$20^{\circ}$,则$\angle \alpha$的度数为()

A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

D

因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ABC=60^{\circ}$。
过$B$作$BD// l$，因为$l// m$，所以$BD// m$。
则$\angle DBC = 20^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle ABD=\angle ABC - \angle DBC=60^{\circ}-20^{\circ}=40^{\circ}$。
又因为$l// BD$，所以$\angle\alpha=\angle ABD = 40^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。

6.四张形状不同的纸片如图所示,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是()

D

要判断哪个三角形不能通过剪一刀得到两个等腰三角形，需先计算各三角形的第三个角，再分析能否通过分割使两个小三角形各有两个角相等（等腰三角形性质）。
步骤1：计算各三角形的三个内角
三角形内角和为180°，已知∠A=70°，∠B为各选项给定值，故∠C=180°-∠A-∠B：
选项A：∠A=70°，∠B=35°，∠C=180°-70°-35°=75°（三个角：70°，35°，75°）。
选项B：∠A=70°，∠B=27.5°，∠C=180°-70°-27.5°=82.5°（三个角：70°，27.5°，82.5°）。
选项C：∠A=70°，∠B=20°，∠C=180°-70°-20°=90°（三个角：70°，20°，90°）。
选项D：∠A=70°，∠B=30°，∠C=180°-70°-30°=80°（三个角：70°，30°，80°）。
步骤2：分析各选项能否分割为两个等腰三角形
选项A（70°，35°，75°）
从∠C（75°）引线段CD交AB于D，使∠BCD=35°（=∠B），则：
△BCD中，∠B=∠BCD=35°（等腰三角形）；
△ACD中，∠A=70°，∠ADC=180°-∠BDC=180°-(180°-35°-35°)=70°，故∠A=∠ADC=70°（等腰三角形）。
可分割为两个等腰三角形。
选项B（70°，27.5°，82.5°）
从∠C（82.5°）引线段CD交AB于D，使∠BCD=27.5°（=∠B），则：
△BCD中，∠B=∠BCD=27.5°（等腰三角形）；
△ACD中，∠ADC=180°-∠BDC=180°-(180°-27.5°-27.5°)=55°，∠ACD=82.5°-27.5°=55°，故∠ACD=∠ADC=55°（等腰三角形）。
可分割为两个等腰三角形。
选项C（70°，20°，90°）
从∠C（90°）引线段CD交AB于D，使∠ACD=70°（=∠A），则：
△ACD中，∠A=∠ACD=70°（等腰三角形）；
△BCD中，∠BCD=90°-70°=20°（=∠B），故∠B=∠BCD=20°（等腰三角形）。
可分割为两个等腰三角形。
选项D（70°，30°，80°）
三个角为70°、30°、80°，无论从哪个角引线段，均无法使分割后的两个三角形各有两个角相等（验证过程略）。
无法分割为两个等腰三角形。

7.如图,在$\triangle ABC$中,$BD$平分$\angle ABC$,$BC$的中垂线交$BC$于点$E$,交$BD$于点$F$,连接$CF$。若$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle ABD = 24^{\circ}$,则$\angle ACF$的度数为()

A.$48^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$24^{\circ}$

A

∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠DBC=∠ABD=24°，∠ABC=2∠ABD=48°．
在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=48°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-48°=72°．
∵EF是BC的中垂线，
∴FB=FC（中垂线上的点到线段两端距离相等），
∴∠FCB=∠FBC=24°．
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=72°-24°=48°．

8.如图,$AD$是$\angle BAC$的角平分线,$DE\perp AB$,垂足为$E$,面积$S_{\triangle ABC} = 9$,$DE = 2$,$AB = 5$,则$AC$长为()

A.5
B.4
C.3
D.2

B

过D作DF⊥AC于F，因为AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，所以DF=DE=2。S△ABC=S△ABD+S△ACD，S△ABD=1/2×AB×DE=1/2×5×2=5，所以S△ACD=9-5=4。又因为S△ACD=1/2×AC×DF，即4=1/2×AC×2，解得AC=4。

9.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 105^{\circ}$,$AC$的垂直平分线$MN$交$BC$于点$E$,$AB + BE = BC$,则$\angle B$的度数是()

A.$45^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

B

连接AE，∵MN是AC的垂直平分线，∴EA=EC（垂直平分线性质）。
∵AB+BE=BC，BC=BE+EC，∴AB=EC=EA，∴△ABE为等腰三角形，∠B=∠AEB。
设∠B=x，则∠AEB=x，∠BAE=180°-2x。
∵EA=EC，∴∠EAC=∠C=y，∠A=∠BAE+∠EAC=105°，即(180°-2x)+y=105°，得y=2x-75°。
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，即105°+x+y=180°，∴x+y=75°。
将y=2x-75°代入x+y=75°，得x+2x-75°=75°，解得x=50°，即∠B=50°。

10.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = 6$,$BC = 10$,$AC = 8$,$BD$是$\angle ABC$的平分线。若$P$,$Q$分别是$BD$和$AB$上的动点,则$PA + PQ$的最小值是()

A.2.4
B.4.8
C.4
D.5

B

作点A关于BD的对称点A'，由BD是∠ABC的平分线，可得A'在BC上，且BA'=BA=6。连接A'Q，由对称性知PA=PA'，则PA+PQ=PA'+PQ。当A'、P、Q三点共线且A'Q⊥AB时，PA'+PQ最小，即A'到AB的距离。
因为∠BAC=90°，AC⊥AB，A'在BC上，BA'=6，BC=10，所以A'C=4。由△BA'H∽△BCA（H为A'在AB上的垂足），相似比为BA'/BC=6/10=3/5。则A'H=AC×3/5=8×3/5=4.8。

11.如图,在$\triangle ABC$中,以点$B$为圆心、以$BA$长为半径画弧交边$BC$于点$D$,连接$AD$。若$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 36^{\circ}$,则$\angle DAC =$。

在△ABC中，∠B=40°，∠C=36°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠BAC=180° - ∠B - ∠C=180° - 40° - 36°=104°。
以点B为圆心、BA长为半径画弧交BC于点D，
∴BA=BD，
∴△ABD为等腰三角形，∠BAD=∠ADB。
在△ABD中，∠B=40°，
∴∠BAD=∠ADB=(180° - ∠B)÷2=(180° - 40°)÷2=70°。
∵∠DAC=∠BAC - ∠BAD，
∴∠DAC=104° - 70°=34°。
34°

12.如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是$\angle BAC$的角平分线,$AB:AC = 5:3$,则面积之比$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD} =$。

过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE，S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF，
又∵DE=DF，AB:AC=5:3，
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3。
5:3