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1.网络直播带货逐渐走入人们的视野.
某超市用1550元购进甲、乙两种商品,通过网络直播销售出去,其中乙种商品的个数是甲种商品的2倍少5个,甲种商品的进价为20元,乙种商品的进价为10元.该超市购进甲、乙两种商品各多少个?
某超市用1550元购进甲、乙两种商品,通过网络直播销售出去,其中乙种商品的个数是甲种商品的2倍少5个,甲种商品的进价为20元,乙种商品的进价为10元.该超市购进甲、乙两种商品各多少个?
答案
解：设该超市购进甲种商品x个，则购进乙种商品(2x-5)个。
根据题意列方程，得：
$20x + 10(2x - 5) = 1550$
去括号，得：
$20x + 20x - 50 = 1550$
移项、合并同类项，得：
$40x = 1600$
系数化为1，得：
$x = 40$
乙种商品的个数为：$2×40 - 5 = 75$
答：该超市购进甲种商品40个，乙种商品75个。
根据题意列方程，得：
$20x + 10(2x - 5) = 1550$
去括号，得：
$20x + 20x - 50 = 1550$
移项、合并同类项，得：
$40x = 1600$
系数化为1，得：
$x = 40$
乙种商品的个数为：$2×40 - 5 = 75$
答：该超市购进甲种商品40个，乙种商品75个。
解析
【分析】
这是一道用一元一次方程解决的实际进货问题，解题思路如下：首先找核心等量关系：购进甲商品的总费用+购进乙商品的总费用=总进货花费1550元。其次设未知数，已知乙种商品个数是甲种商品的2倍少5个，设甲种商品购进x个，就可以用含x的式子表示乙的个数为(2x-5)个。再结合甲、乙的单价分别计算两种商品的总进价，代入等量关系列方程，最后按一元一次方程的求解步骤算出甲的数量，再代入表达式求出乙的数量即可。
【解析】
解：设该超市购进甲种商品x个，则购进乙种商品(2x-5)个。
根据题意列方程，得：
$20x + 10(2x - 5) = 1550$
去括号，得：
$20x + 20x - 50 = 1550$
移项、合并同类项，得：
$40x = 1600$
系数化为1，得：
$x = 40$
乙种商品的个数为：$2×40 - 5 = 75$
答：该超市购进甲种商品40个，乙种商品75个。
【答案】
该超市购进甲种商品40个，乙种商品75个。
【知识点】
一元一次方程的应用、列方程解应用题、一元一次方程求解
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题关键是准确提取题干中的数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，能有效锻炼学生的读题分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道用一元一次方程解决的实际进货问题，解题思路如下：首先找核心等量关系：购进甲商品的总费用+购进乙商品的总费用=总进货花费1550元。其次设未知数，已知乙种商品个数是甲种商品的2倍少5个，设甲种商品购进x个，就可以用含x的式子表示乙的个数为(2x-5)个。再结合甲、乙的单价分别计算两种商品的总进价，代入等量关系列方程，最后按一元一次方程的求解步骤算出甲的数量，再代入表达式求出乙的数量即可。
【解析】
解：设该超市购进甲种商品x个，则购进乙种商品(2x-5)个。
根据题意列方程，得：
$20x + 10(2x - 5) = 1550$
去括号，得：
$20x + 20x - 50 = 1550$
移项、合并同类项，得：
$40x = 1600$
系数化为1，得：
$x = 40$
乙种商品的个数为：$2×40 - 5 = 75$
答：该超市购进甲种商品40个，乙种商品75个。
【答案】
该超市购进甲种商品40个，乙种商品75个。
【知识点】
一元一次方程的应用、列方程解应用题、一元一次方程求解
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题关键是准确提取题干中的数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，能有效锻炼学生的读题分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
2.如图,某公园有一处长为$(4x-1)\mathrm{m}$,宽为8 m的长方形空地,为美化环境,现计划在阴影部分种植花卉,在空白三角形部分修建一个游客观赏区.已知种植花卉的面积为$116\ \mathrm{m}^2$,求长方形空地的长.
答案
解：
长方形空地的总面积为$8(4x-1)\ \mathrm{m}^2$，
空白直角三角形的两条直角边长分别为$8-6=2\ \mathrm{m}$，$(4x-1)-(3x-1)=x\ \mathrm{m}$，
空白三角形的面积为$\frac{1}{2} × 2 × x = x\ \mathrm{m}^2$。
根据种植花卉的面积为$116\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$8(4x-1) - x = 116$
去括号得：
$32x - 8 - x = 116$
移项、合并同类项得：
$31x = 124$
系数化为1得：
$x=4$
则长方形空地的长为$4x-1=4×4-1=15\ \mathrm{m}$。
答：长方形空地的长为$15\ \mathrm{m}$。
长方形空地的总面积为$8(4x-1)\ \mathrm{m}^2$，
空白直角三角形的两条直角边长分别为$8-6=2\ \mathrm{m}$，$(4x-1)-(3x-1)=x\ \mathrm{m}$，
空白三角形的面积为$\frac{1}{2} × 2 × x = x\ \mathrm{m}^2$。
根据种植花卉的面积为$116\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$8(4x-1) - x = 116$
去括号得：
$32x - 8 - x = 116$
移项、合并同类项得：
$31x = 124$
系数化为1得：
$x=4$
则长方形空地的长为$4x-1=4×4-1=15\ \mathrm{m}$。
答：长方形空地的长为$15\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确目标是求长方形空地的长，已知长的表达式为$(4x-1)\mathrm{m}$，因此需要先求出$x$的值。我们可以利用“阴影花卉面积=长方形总面积-空白三角形面积”的等量关系列方程求解：第一步先计算长方形的总面积，第二步从图中提取信息算出空白直角三角形的两条直角边长，得到空白三角形的面积，第三步根据已知的阴影面积列一元一次方程，解出$x$后代入长的表达式即可得到结果。
【解析】
首先计算长方形空地的总面积：
$S_{\mathrm{长方形}}=长×宽=8(4x-1)\ \mathrm{m}^2$
再求空白直角三角形的两条直角边长：
竖直方向直角边：$8-6=2\ \mathrm{m}$
水平方向直角边：$(4x-1)-(3x-1)=x\ \mathrm{m}$
空白三角形的面积为：
$S_{\mathrm{空白}}=\frac{1}{2}×2× x=x\ \mathrm{m}^2$
根据种植花卉的面积为$116\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$8(4x-1) - x = 116$
去括号得：
$32x - 8 - x = 116$
移项、合并同类项得：
$31x = 124$
系数化为1得：
$x=4$
将$x=4$代入长方形长的表达式得：
$4x-1=4×4-1=15\ \mathrm{m}$
【答案】
$15\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元一次方程应用，整式运算，面积公式应用
【点评】
本题结合实际场景，将几何面积计算和一元一次方程知识结合，要求学生从图中准确提取边长关系，梳理面积的等量关系建立方程，考查了学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确目标是求长方形空地的长，已知长的表达式为$(4x-1)\mathrm{m}$，因此需要先求出$x$的值。我们可以利用“阴影花卉面积=长方形总面积-空白三角形面积”的等量关系列方程求解：第一步先计算长方形的总面积，第二步从图中提取信息算出空白直角三角形的两条直角边长，得到空白三角形的面积，第三步根据已知的阴影面积列一元一次方程，解出$x$后代入长的表达式即可得到结果。
【解析】
首先计算长方形空地的总面积：
$S_{\mathrm{长方形}}=长×宽=8(4x-1)\ \mathrm{m}^2$
再求空白直角三角形的两条直角边长：
竖直方向直角边：$8-6=2\ \mathrm{m}$
水平方向直角边：$(4x-1)-(3x-1)=x\ \mathrm{m}$
空白三角形的面积为：
$S_{\mathrm{空白}}=\frac{1}{2}×2× x=x\ \mathrm{m}^2$
根据种植花卉的面积为$116\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$8(4x-1) - x = 116$
去括号得：
$32x - 8 - x = 116$
移项、合并同类项得：
$31x = 124$
系数化为1得：
$x=4$
将$x=4$代入长方形长的表达式得：
$4x-1=4×4-1=15\ \mathrm{m}$
【答案】
$15\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元一次方程应用，整式运算，面积公式应用
【点评】
本题结合实际场景，将几何面积计算和一元一次方程知识结合，要求学生从图中准确提取边长关系，梳理面积的等量关系建立方程，考查了学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 以下是两张不同类型的火车票示意图(“D××××”表示动车，“G××××”表示高铁)：
B011316 检票:A1
A地$\xrightarrow{G××××}$B地
2024年9月29日21:00开 02车12D号
¥560.0元 二等座
仅供报销使用
4112211995 * * * *2536某某某
报销凭证 遗失不补
退票改签时需交回车站
(1)根据车票中的信息填空:该列动车和高铁是(填“相向”或“同向”)而行,该列动车比高铁发车(填“早”或“晚”).
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h,300 km/h,两列火车的长度不计,如果两列火车都沿同一路线直达终点(即中途不停靠任何站点),高铁比动车早到10 min,求A,B两地之间的距离.
B011316 检票:A1
A地$\xrightarrow{G××××}$B地
2024年9月29日21:00开 02车12D号
¥560.0元 二等座
仅供报销使用
4112211995 * * * *2536某某某
报销凭证 遗失不补
退票改签时需交回车站
(1)根据车票中的信息填空:该列动车和高铁是(填“相向”或“同向”)而行,该列动车比高铁发车(填“早”或“晚”).
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h,300 km/h,两列火车的长度不计,如果两列火车都沿同一路线直达终点(即中途不停靠任何站点),高铁比动车早到10 min,求A,B两地之间的距离.
答案
(1)
同向；早
(2)
解：设A,B两地之间的距离为$x\ \mathrm{km}$。
$10\ \mathrm{min}=\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$，由题意可知动车比高铁早发车$1\ \mathrm{h}$，
列方程得：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+\frac{1}{6}$
通分后化简：
$\frac{3x-2x}{600}=\frac{7}{6}$
$\frac{x}{600}=\frac{7}{6}$
解得：
$x=700$
答：A,B两地之间的距离为700 km。
同向；早
(2)
解：设A,B两地之间的距离为$x\ \mathrm{km}$。
$10\ \mathrm{min}=\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$，由题意可知动车比高铁早发车$1\ \mathrm{h}$，
列方程得：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+\frac{1}{6}$
通分后化简：
$\frac{3x-2x}{600}=\frac{7}{6}$
$\frac{x}{600}=\frac{7}{6}$
解得：
$x=700$
答：A,B两地之间的距离为700 km。
解析
【分析】
(1) 先提取车票的路线和时间信息：两张车票的行驶路线均为A地到B地，因此行驶方向相同；对比发车时间，动车20:00发车，高铁21:00发车，因此动车发车更早。
(2) 本题是行程类一元一次方程应用题，核心公式为$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$。首先梳理两车的时间差：动车比高铁早发车1小时，高铁反而比动车早到10分钟，说明走完全程动车总用时比高铁多$1\mathrm{h}+10\mathrm{min}$。先统一时间单位，再设A、B两地距离为$x\ \mathrm{km}$，分别表示两车的行驶时间，根据时间差列方程求解即可。
【解析】
(1) 两列火车的行驶路线均为A地→B地，因此是同向而行；动车发车时间为20:00，高铁发车时间为21:00，因此动车比高铁发车早。
(2) 解：设A、B两地之间的距离为$x\ \mathrm{km}$。
先统一时间单位：$10\ \mathrm{min}=\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$，
由题意得，走完全程动车的行驶时间比高铁多$1+\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$，列方程：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+\frac{1}{6}$
通分化简得：
$\frac{3x-2x}{600}=\frac{7}{6}$
$\frac{x}{600}=\frac{7}{6}$
解得：$x=700$
【答案】
(1) 同向；早
(2) A、B两地之间的距离为$\boxed{700\ \mathrm{km}}$
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题结合生活中的火车票场景，既考查了信息提取分析能力，又考查了列方程解决行程问题的能力，解题的关键是准确梳理两车的时间差，计算前注意统一单位，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.6
(1) 先提取车票的路线和时间信息：两张车票的行驶路线均为A地到B地，因此行驶方向相同；对比发车时间，动车20:00发车，高铁21:00发车，因此动车发车更早。
(2) 本题是行程类一元一次方程应用题，核心公式为$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$。首先梳理两车的时间差：动车比高铁早发车1小时，高铁反而比动车早到10分钟，说明走完全程动车总用时比高铁多$1\mathrm{h}+10\mathrm{min}$。先统一时间单位，再设A、B两地距离为$x\ \mathrm{km}$，分别表示两车的行驶时间，根据时间差列方程求解即可。
【解析】
(1) 两列火车的行驶路线均为A地→B地，因此是同向而行；动车发车时间为20:00，高铁发车时间为21:00，因此动车比高铁发车早。
(2) 解：设A、B两地之间的距离为$x\ \mathrm{km}$。
先统一时间单位：$10\ \mathrm{min}=\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$，
由题意得，走完全程动车的行驶时间比高铁多$1+\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$，列方程：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+\frac{1}{6}$
通分化简得：
$\frac{3x-2x}{600}=\frac{7}{6}$
$\frac{x}{600}=\frac{7}{6}$
解得：$x=700$
【答案】
(1) 同向；早
(2) A、B两地之间的距离为$\boxed{700\ \mathrm{km}}$
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题结合生活中的火车票场景，既考查了信息提取分析能力，又考查了列方程解决行程问题的能力，解题的关键是准确梳理两车的时间差，计算前注意统一单位，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.6
