23. 将两块全等的三角板如图 11①摆放，其中 $ \angle A _ { 1 } C B _ { 1 } = \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ \angle A _ { 1 } = \angle A = 30 ^ { \circ } $.

（1）将图 11①中的 $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C $ 顺时针旋转 $ 45 ^ { \circ } $ 得图 11②，点 $ P _ { 1 } $ 是 $ A _ { 1 } C $ 与 $ A B $ 的交点，点 $ Q $ 是 $ A _ { 1 } B _ { 1 } $ 与 $ B C $ 的交点，求证：$ C P _ { 1 } = C Q $.
（2）在图 11②中，若 $ A P _ { 1 } = 2 $，则 $ C Q $ 等于多少？

【解析】：
（1）证明：
因为$\triangle A_{1}B_{1}C$绕点$C$顺时针旋转$45^{\circ}$，$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A_{1}=\angle A = 30^{\circ}$。
在$\triangle CP_{1}B$和$\triangle CQB_{1}$中，
$\angle B_{1}CQ=\angle BCP_{1}=45^{\circ}$（旋转角为$45^{\circ}$），
$B_{1}C = BC$（两块三角板全等），
$\angle B_{1}=\angle B = 60^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，则$\angle B=60^{\circ}$，同理$\angle B_{1}=60^{\circ}$）。
所以$\triangle CP_{1}B\cong\triangle CQB_{1}(ASA)$，
所以$CP_{1}=CQ$。
（2）过点$P_{1}$作$P_{1}D\perp AC$于点$D$。
在$Rt\triangle AP_{1}D$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AP_{1}=2$，
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，所以$P_{1}D=\dfrac{1}{2}AP_{1}=1$。
又因为$\angle P_{1}CD = 45^{\circ}$，$\triangle P_{1}DC$是等腰直角三角形，所以$CD = P_{1}D = 1$。
根据勾股定理可得$CP_{1}=\sqrt{P_{1}D^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
由（1）知$CQ = CP_{1}$，所以$CQ=\sqrt{2}$。
【答案】：（1）证明过程见上述解析；（2）$\sqrt{2}$