6. 如图,$\angle ABC= 25^{\circ}$,$\angle BCD= 45^{\circ}$,$\angle CDE= 30^{\circ}$,$\angle DEF= 10^{\circ}$.试判断$AB和EF$的位置关系,并说明理由.

$AB // EF$ 理由：如图，连接 $BE$ 交 $CD$ 于点 $O$。设 $\angle CBO = x$，$\angle DEO = y$。因为三角形 $BCO$，三角形 $EDO$ 的内角和为 $180^{\circ}$，$\angle BOC = \angle DOE$，$\angle BCD = 45^{\circ}$，$\angle CDE = 30^{\circ}$，所以 $45^{\circ} + x = 30^{\circ} + y$，即 $y = 15^{\circ} + x$。因为 $\angle ABC = 25^{\circ}$，$\angle DEF = 10^{\circ}$，所以 $\angle ABE = \angle ABC + \angle CBO = 25^{\circ} + x$，$\angle BEF = \angle DEF + \angle DEO = 10^{\circ} + y = 10^{\circ} + 15^{\circ} + x = 25^{\circ} + x$。所以 $\angle ABE = \angle BEF$。所以 $AB // EF$。

7. 如图,若$AB// CD// EF$,则$x$,$y$,$z$三者之间的关系为()

A. $x+y+z= 180^{\circ}$
B. $x+y-z= 180^{\circ}$
C. $x+y+z= 360^{\circ}$
D. $x+z= y$

B

8. 如图,$AB// CD$.
(1) 如图①,若$\angle ABE= 40^{\circ}$,$\angle BEC= 140^{\circ}$,则$\angle ECD= $______$^{\circ}$;
(2) 如图①,试探究$\angle ABE$,$\angle BEC$,$\angle ECD$之间的数量关系,并说明理由;
(3) 如图②,若$CF平分\angle ECD$,且$CF// BE$,试探究$\angle ECD$,$\angle ABE$之间的数量关系,并说明理由.

(1) 80 (2) $\angle ECD + \angle BEC - \angle ABE = 180^{\circ}$ 理由：如图，过点 $E$ 作 $EF // AB$，延长 $CE$ 交 $AB$ 于点 $G$。因为 $EF // AB$，所以 $\angle BEF = \angle ABE$，$\angle BGE = \angle FEC$。因为 $AB // CD$，所以 $\angle ECD + \angle BGE = 180^{\circ}$。所以 $\angle ECD + \angle FEC = 180^{\circ}$。因为 $\angle FEC = \angle BEC - \angle BEF$，所以 $\angle ECD + \angle BEC - \angle BEF = 180^{\circ}$。所以 $\angle ECD + \angle BEC - \angle ABE = 180^{\circ}$。 (3) $\angle ECD = 2\angle ABE$ 理由：因为 $CF // BE$，所以 $\angle BEC + \angle ECF = 180^{\circ}$。由 (2)，得 $\angle ECD + \angle BEC - \angle ABE = 180^{\circ}$，所以 $\angle BEC + \angle ECF = \angle ECD + \angle BEC - \angle ABE$，即 $\angle ECF = \angle ECD - \angle ABE$。因为 $CF$ 平分 $\angle ECD$，所以 $\angle ECF = \frac{1}{2}\angle ECD$。所以 $\frac{1}{2}\angle ECD = \angle ECD - \angle ABE$，即 $\angle ECD = 2\angle ABE$。