在同一平面内，由$n$条线段依次首尾连结而成的封闭图形叫作$n$边形(包括凹多边形，以下同)，这些线段的端点叫作顶点。奥地利数学家皮克发现了一个计算正方形网格纸中多边形面积的公式：在边长为$1$的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形。记格点多边形内的格点数为$a$，边界上的格点数为$b$，则格点多边形的面积可表示为$S = ma + nb - 1$，其中$m$，$n$是常数。

(1) 观察图①、图②并填表。
| | $a$ | $b$ | $S$ |
|----|----|----|----|
|图①| | | |
|图②| | | |
(2) 由上表求$m$，$n$的值，并写出这个公式。
(3) 若多边形的顶点都在格点上，且面积为$6$，请画出这样两个形状不同的多边形(多边形的边数$\geq6$)，并写出相应的$a$，$b$值，分别画在图③、图④中。

【解析】：
### $(1)$ 计算图①、图②的$a$、$b$、$S$值
对于图①：
数格点多边形内的格点数$a = 11$；
数边界上的格点数$b = 4$；
用数方格的方法计算面积$S=\frac{1}{2}\times(1 + 2)\times1+\frac{1}{2}\times2\times4+\frac{1}{2}\times1\times3 = 7$。
对于图②：
格点多边形内的格点数$a = 11$；
边界上的格点数$b = 6$；
用数方格的方法计算面积$S=\frac{1}{2}\times(1 + 2)\times1+(2 + 4)\times1+\frac{1}{2}\times(1 + 2)\times1 = 8$。
### $(2)$ 求$m$，$n$的值并写出公式
将图①$a = 11$，$b = 4$，$S = 7$和图②$a = 11$，$b = 6$，$S = 8$代入$S = ma+nb - 1$得：
$\begin{cases}11m + 4n-1 = 7\\11m+6n - 1 = 8\end{cases}$
用第二个方程$11m+6n - 1 = 8$减去第一个方程$11m + 4n-1 = 7$可得：
$(11m+6n - 1)-(11m + 4n-1)=8 - 7$
$11m+6n - 1-11m - 4n + 1 = 1$
$2n = 1$，解得$n=\frac{1}{2}$。
把$n=\frac{1}{2}$代入$11m + 4n-1 = 7$得：
$11m+4\times\frac{1}{2}-1 = 7$
$11m+2 - 1 = 7$
$11m=6$，解得$m = 1$。
所以公式为$S=a+\frac{1}{2}b - 1$。
### $(3)$ 画多边形并求$a$，$b$值
根据$S=a+\frac{1}{2}b - 1 = 6$，即$2a + b=14$。
当$a = 4$时，$2\times4 + b=14$，$b = 6$。
当$a = 5$时，$2\times5 + b=14$，$b = 4$。
【答案】：
$(1)$ 图①：$a = 11$，$b = 4$，$S = 7$；图②：$a = 11$，$b = 6$，$S = 8$。
$(2)$ $m = 1$，$n=\frac{1}{2}$，公式$S=a+\frac{1}{2}b - 1$。
$(3)$ 图③：$a = 4$，$b = 6$；图④：$a = 5$，$b = 4$（答案不唯一，满足$2a + b=14$且多边形边数$\geq6$即可）。