1. 把一副三角板如图放置,其中∠ACB= ∠DEC= 90°,∠A= 45°,∠D= 30°,斜边AB、CD相交于O点. 求∠AOC的度数.

$ 105^{\circ} $

2. 如图,在边长为1个单位的正方形网格中,三角形ABC经过平移后得到三角形A'B'C',图中标出了点B的对应点B'. 根据下列条件,利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹).
(1)画出三角形A'B'C'；
(2)连接AA'、CC',那么AA'与CC'的关系是______,线段AC扫过的图形的面积为______.

1. （1）
分析：根据平移的性质，平移前后对应点的连线平行且相等。已知$B$与$B'$是对应点，先确定平移的方向和距离。
步骤：
观察$B$到$B'$的平移规律，$B$向右平移$5$个单位，向上平移$1$个单位得到$B'$。
那么$A$点也向右平移$5$个单位，向上平移$1$个单位得到$A'$；$C$点也向右平移$5$个单位，向上平移$1$个单位得到$C'$。
连接$A'B'$，$B'C'$，$A'C'$，得到$\triangle A'B'C'$。
2. （2）
关系：
解：根据平移的性质，平移前后对应点的连线平行且相等。因为$\triangle ABC$平移得到$\triangle A'B'C'$，$A$与$A'$、$C$与$C'$是对应点，所以$AA'// CC'$且$AA' = CC'$。
面积：
解：线段$AC$扫过的图形是平行四边形$ACC'A'$。
由平移的性质可知，平行四边形$ACC'A'$的底$AA' = 5$（单位长度），高为$1$（单位长度）。
根据平行四边形面积公式$S =底×高$，这里$S = 5×1=5$（平方单位）。
故答案依次为：$AA'// CC'$且$AA' = CC'$；$5$。

3. 如图,∠ACE= ∠AEC.
(1)若CE平分∠ACD,求证：AB//CD；
(2)若AB//CD,求证：CE平分∠ACD.

【解析】：
(1)
已知$CE$平分$\angle ACD$，根据角平分线的定义，可得$\angle ACE = \angle ECD$。
又因为$\angle ACE=\angle AEC$，所以$\angle AEC=\angle ECD$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AB// CD$。
(2)
因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle AEC = \angle ECD$。
又因为$\angle ACE=\angle AEC$，所以$\angle ACE=\angle ECD$。
根据角平分线的定义，可得$CE$平分$\angle ACD$。
【答案】：
(1) 证明成立，$AB// CD$；
(2) 证明成立，$CE$平分$\angle ACD$。