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1. 计算下面各阴影部分的面积。
答案
第一个图形
解析：该图形是一个圆中有一个正方形，圆的直径为$8cm$，那么半径$r = 8÷2 = 4cm$。阴影部分面积等于圆的面积减去正方形的面积。圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$，正方形的面积可以通过对角线来计算，对角线为圆的直径$d = 8cm$，正方形面积$S_{正方形}=\frac{1}{2}d^{2}$（根据正方形面积等于对角线乘积的一半）。
计算过程：
圆的面积$S_{圆}=\pi×4^{2}=16\pi cm^{2}$
正方形的面积$S_{正方形}=\frac{1}{2}×8×8 = 32cm^{2}$
阴影部分面积$S_{阴}=S_{圆}-S_{正方形}=16\pi - 32$，取$\pi\approx3.14$，则$S_{阴}\approx16×3.14 - 32=50.24 - 32 = 18.24cm^{2}$
答案：$18.24cm^{2}$
第二个图形
解析：该图形是一个正方形中有一个圆，正方形的边长为$8cm$，圆的直径等于正方形的边长。阴影部分面积等于正方形的面积减去圆的面积。正方形面积公式为$S_{正}=a^{2}$（$a$为边长），圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$，这里圆的半径$r = 8÷2 = 4cm$。
计算过程：
正方形的面积$S_{正}=8×8 = 64cm^{2}$
圆的面积$S_{圆}=\pi×4^{2}=16\pi cm^{2}$
阴影部分面积$S_{阴}=S_{正}-S_{圆}=64 - 16\pi$，取$\pi\approx3.14$，则$S_{阴}\approx64 - 16×3.14=64 - 50.24 = 13.76cm^{2}$
答案：$13.76cm^{2}$
解析：该图形是一个圆中有一个正方形，圆的直径为$8cm$，那么半径$r = 8÷2 = 4cm$。阴影部分面积等于圆的面积减去正方形的面积。圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$，正方形的面积可以通过对角线来计算，对角线为圆的直径$d = 8cm$，正方形面积$S_{正方形}=\frac{1}{2}d^{2}$（根据正方形面积等于对角线乘积的一半）。
计算过程：
圆的面积$S_{圆}=\pi×4^{2}=16\pi cm^{2}$
正方形的面积$S_{正方形}=\frac{1}{2}×8×8 = 32cm^{2}$
阴影部分面积$S_{阴}=S_{圆}-S_{正方形}=16\pi - 32$，取$\pi\approx3.14$，则$S_{阴}\approx16×3.14 - 32=50.24 - 32 = 18.24cm^{2}$
答案：$18.24cm^{2}$
第二个图形
解析：该图形是一个正方形中有一个圆，正方形的边长为$8cm$，圆的直径等于正方形的边长。阴影部分面积等于正方形的面积减去圆的面积。正方形面积公式为$S_{正}=a^{2}$（$a$为边长），圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$，这里圆的半径$r = 8÷2 = 4cm$。
计算过程：
正方形的面积$S_{正}=8×8 = 64cm^{2}$
圆的面积$S_{圆}=\pi×4^{2}=16\pi cm^{2}$
阴影部分面积$S_{阴}=S_{正}-S_{圆}=64 - 16\pi$，取$\pi\approx3.14$，则$S_{阴}\approx64 - 16×3.14=64 - 50.24 = 13.76cm^{2}$
答案：$13.76cm^{2}$
2. 一颗纽扣及其示意图如图所示。算出示意图中阴影部分的面积。
答案
解析：本题考查正方形和圆的面积计算，通过大正方形面积减去四个小圆的面积得到阴影部分面积。
答案：$12×12 - 3.14×(2÷2)^2×4 = 144 - 12.56 = 131.44$（$mm^2$）
所以阴影部分面积为$131.44mm^2$。
答案：$12×12 - 3.14×(2÷2)^2×4 = 144 - 12.56 = 131.44$（$mm^2$）
所以阴影部分面积为$131.44mm^2$。
3. 一张正方形的伸缩折叠餐桌,撑开后变成一张直径是 1.8 m 的圆形餐桌。撑开后的桌面比原来大了多少？
答案
本题可先分别求出圆形餐桌和正方形餐桌的面积，再用圆形餐桌的面积减去正方形餐桌的面积，即可得到撑开后的桌面比原来大的面积。
步骤一：求圆形餐桌的面积
已知圆形餐桌的直径是$1.8m$，根据圆的面积公式$S = \pi r^2$（其中$S$表示圆的面积，$\pi$通常取$3.14$，$r$为圆的半径），先求出半径$r$，半径等于直径的一半，即：
$r = 1.8÷2 = 0.9m$
再将$r = 0.9m$，$\pi = 3.14$代入圆的面积公式可得：
$S_{圆}=3.14×0.9^2 = 3.14×0.81 = 2.5434m^2$
步骤二：求正方形餐桌的面积
由图可知，正方形的对角线就是圆的直径$1.8m$。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理$a^2 + a^2 =$对角线的平方，即$2a^2 = 1.8^2$，则$a^2=\frac{1.8^2}{2}$。
而正方形的面积$S_{正}=a^2$，所以$S_{正}=\frac{1.8^2}{2}=\frac{3.24}{2} = 1.62m^2$
步骤三：求撑开后的桌面比原来大的面积
用圆形餐桌的面积减去正方形餐桌的面积可得：
$S = S_{圆}-S_{正}=2.5434 - 1.62 = 0.9234m^2$
综上，撑开后的桌面比原来大了$0.9234m^2$。
步骤一：求圆形餐桌的面积
已知圆形餐桌的直径是$1.8m$，根据圆的面积公式$S = \pi r^2$（其中$S$表示圆的面积，$\pi$通常取$3.14$，$r$为圆的半径），先求出半径$r$，半径等于直径的一半，即：
$r = 1.8÷2 = 0.9m$
再将$r = 0.9m$，$\pi = 3.14$代入圆的面积公式可得：
$S_{圆}=3.14×0.9^2 = 3.14×0.81 = 2.5434m^2$
步骤二：求正方形餐桌的面积
由图可知，正方形的对角线就是圆的直径$1.8m$。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理$a^2 + a^2 =$对角线的平方，即$2a^2 = 1.8^2$，则$a^2=\frac{1.8^2}{2}$。
而正方形的面积$S_{正}=a^2$，所以$S_{正}=\frac{1.8^2}{2}=\frac{3.24}{2} = 1.62m^2$
步骤三：求撑开后的桌面比原来大的面积
用圆形餐桌的面积减去正方形餐桌的面积可得：
$S = S_{圆}-S_{正}=2.5434 - 1.62 = 0.9234m^2$
综上，撑开后的桌面比原来大了$0.9234m^2$。
4. 在一张长 10 dm、宽 5 dm 的纸里剪出一个最大的半圆,剪掉部分的面积是多少平方分米？
答案
解析：本题考查的知识点是半圆面积的计算。要剪出一个最大的半圆，其直径最大只能等于长方形的长，即$10\text{dm}$，半径则为$10 ÷ 2 = 5$（$\text{dm}$），这正好等于长方形的宽，所以能剪出最大的半圆的半径$r = 5\text{dm}$。先根据圆的面积公式$S=\pi r^{2}$算出整圆的面积，再除以$2$得到半圆的面积。然后用长方形的面积（长$×$宽）减去半圆的面积，就可得到剪掉部分的面积。
答案：
半圆的半径$r = 5\text{dm}$。
圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，则半圆的面积为：
$S_{半圆}=\frac{1}{2}×3.14×5^{2}$
$=\frac{1}{2}×3.14×25$
$ = 39.25$（$\text{dm}^{2}$）
长方形的面积$S_{长方形}=10×5 = 50$（$\text{dm}^{2}$）
剪掉部分的面积$S_{剪}=S_{长方形}-S_{半圆}=50 - 39.25 = 10.75$（$\text{dm}^{2}$）
答：剪掉部分的面积是$10.75$平方分米。
答案：
半圆的半径$r = 5\text{dm}$。
圆的面积公式为$S = \pi r^{2}$，则半圆的面积为：
$S_{半圆}=\frac{1}{2}×3.14×5^{2}$
$=\frac{1}{2}×3.14×25$
$ = 39.25$（$\text{dm}^{2}$）
长方形的面积$S_{长方形}=10×5 = 50$（$\text{dm}^{2}$）
剪掉部分的面积$S_{剪}=S_{长方形}-S_{半圆}=50 - 39.25 = 10.75$（$\text{dm}^{2}$）
答：剪掉部分的面积是$10.75$平方分米。
5. 如图,有三块大小相同的正方形钢板,它们的边长都是 18 dm,从每一块钢板中切割出同样大小的圆。哪一种切割方法余下的废料(阴影部分)最少？估一估,算一算。
答案
本题可通过分别计算三种切割方法中圆的面积，再用正方形的面积减去圆的面积得到废料面积，最后比较废料面积的大小来判断哪种切割方法余下的废料最少。
正方形的面积公式为$S=a^2$（$S$为正方形面积，$a$为正方形边长），圆的面积公式为$S = \pi r^2$（$S$为圆的面积，$\pi$通常取$3.14$，$r$为圆的半径）。
第一种切割方法：
切割情况：在正方形中切割一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。
已知正方形边长为$18dm$，则圆的直径$d = 18dm$，半径$r=\frac{d}{2}=\frac{18}{2}=9dm$。
计算圆的面积：
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，可得圆的面积为：
$S_1 = 3.14×9^2 = 3.14×81 = 254.34$（$dm^2$）。
计算正方形的面积：
根据正方形面积公式$S=a^2$，可得正方形面积为：
$S_{正}=18^2 = 324$（$dm^2$）。
计算废料面积：
废料面积$=$正方形面积$-$圆的面积，即$S_{废1}=S_{正}-S_1 = 324 - 254.34 = 69.66$（$dm^2$）。
第二种切割方法：
切割情况：把正方形边长平均分成$2$份，可切割出$4$个圆，每个圆的直径为$18÷2 = 9dm$，半径$r = 9÷2 = 4.5dm$。
计算一个圆的面积：
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，可得一个圆的面积为：
$S_{圆}=3.14×4.5^2 = 3.14×20.25 = 63.585$（$dm^2$）。
计算$4$个圆的总面积：
$4$个圆的总面积$S_2 = 4×63.585 = 254.34$（$dm^2$）。
计算废料面积：
废料面积$S_{废2}=S_{正}-S_2 = 324 - 254.34 = 69.66$（$dm^2$）。
第三种切割方法：
切割情况：把正方形边长平均分成$3$份，可切割出$9$个圆，每个圆的直径为$18÷3 = 6dm$，半径$r = 6÷2 = 3dm$。
计算一个圆的面积：
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，可得一个圆的面积为：
$S_{圆}=3.14×3^2 = 3.14×9 = 28.26$（$dm^2$）。
计算$9$个圆的总面积：
$9$个圆的总面积$S_3 = 9×28.26 = 254.34$（$dm^2$）。
计算废料面积：
废料面积$S_{废3}=S_{正}-S_3 = 324 - 254.34 = 69.66$（$dm^2$）。
比较三种切割方法的废料面积：
$S_{废1}=S_{废2}=S_{废3}=69.66dm^2$。
因为三块钢板大小相同，且三种切割方法余下的废料面积相等，所以三种切割方法余下的废料一样多。
故答案为三种切割方法余下的废料一样多。
正方形的面积公式为$S=a^2$（$S$为正方形面积，$a$为正方形边长），圆的面积公式为$S = \pi r^2$（$S$为圆的面积，$\pi$通常取$3.14$，$r$为圆的半径）。
第一种切割方法：
切割情况：在正方形中切割一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。
已知正方形边长为$18dm$，则圆的直径$d = 18dm$，半径$r=\frac{d}{2}=\frac{18}{2}=9dm$。
计算圆的面积：
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，可得圆的面积为：
$S_1 = 3.14×9^2 = 3.14×81 = 254.34$（$dm^2$）。
计算正方形的面积：
根据正方形面积公式$S=a^2$，可得正方形面积为：
$S_{正}=18^2 = 324$（$dm^2$）。
计算废料面积：
废料面积$=$正方形面积$-$圆的面积，即$S_{废1}=S_{正}-S_1 = 324 - 254.34 = 69.66$（$dm^2$）。
第二种切割方法：
切割情况：把正方形边长平均分成$2$份，可切割出$4$个圆，每个圆的直径为$18÷2 = 9dm$，半径$r = 9÷2 = 4.5dm$。
计算一个圆的面积：
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，可得一个圆的面积为：
$S_{圆}=3.14×4.5^2 = 3.14×20.25 = 63.585$（$dm^2$）。
计算$4$个圆的总面积：
$4$个圆的总面积$S_2 = 4×63.585 = 254.34$（$dm^2$）。
计算废料面积：
废料面积$S_{废2}=S_{正}-S_2 = 324 - 254.34 = 69.66$（$dm^2$）。
第三种切割方法：
切割情况：把正方形边长平均分成$3$份，可切割出$9$个圆，每个圆的直径为$18÷3 = 6dm$，半径$r = 6÷2 = 3dm$。
计算一个圆的面积：
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$，可得一个圆的面积为：
$S_{圆}=3.14×3^2 = 3.14×9 = 28.26$（$dm^2$）。
计算$9$个圆的总面积：
$9$个圆的总面积$S_3 = 9×28.26 = 254.34$（$dm^2$）。
计算废料面积：
废料面积$S_{废3}=S_{正}-S_3 = 324 - 254.34 = 69.66$（$dm^2$）。
比较三种切割方法的废料面积：
$S_{废1}=S_{废2}=S_{废3}=69.66dm^2$。
因为三块钢板大小相同，且三种切割方法余下的废料面积相等，所以三种切割方法余下的废料一样多。
故答案为三种切割方法余下的废料一样多。
