登录
1.［2026无锡梁溪区一模］小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为4 cm，纸套的侧面长度(即母线长)为8 cm，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是 (
A.$8\ \mathrm{cm}^2$
B.$8π\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$16π\ \mathrm{cm}^2$
D
)A.$8\ \mathrm{cm}^2$
B.$8π\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$16π\ \mathrm{cm}^2$
答案
1 D
∵底面圆的直径为4 cm,
∴底面圆的半径为2 cm.
又
∵圆锥的母线长为8,
∴圆锥侧面展开图面积为π×2×8 = 16π(cm²).
∵底面圆的直径为4 cm,
∴底面圆的半径为2 cm.
又
∵圆锥的母线长为8,
∴圆锥侧面展开图面积为π×2×8 = 16π(cm²).
2. [2025云南中考]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为 (
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
)A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
2 B 设圆锥的底面圆的半径为r cm,根据“圆锥底面圆的周长是圆锥侧面展开图扇形的弧长”得$\dfrac{90 × π × 40}{180} = 2πr$,解得r = 10.
3. [2026南京师大附中树人学校月考]若圆锥的底面半径为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是
180°
。答案
3 180° 设侧面展开图的圆心角度数为$n°$,则$2π × 6 = \dfrac{n × π × 12}{180}$,解得n = 180,即侧面展开图的圆心角度数是$180°$.
4. 新考向·数学文化 [2026苏州昆山模拟]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题.假设墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一(如图)，谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是
$\sqrt{41}π$
平方尺.(结果用含π的式子表示)答案
4 $\sqrt{41}π$ 由题意得,母线长为$\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$(尺),
∴所需的布的面积至少是$\dfrac{1}{4} × π × 4 × \sqrt{41} = \sqrt{41}π$(平方尺).
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A = 90°, AC = 6, BC = 10$，现将$△ ABC$绕着$BC$旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为
$\dfrac{336}{5}π$
.(结果保留$π$)答案
5 $\dfrac{336}{5}π$ 将$△ABC$绕着$BC$旋转一周得到一个几何体如图所示(由两个圆锥组合而成).过点A作$AD ⊥ BC$于点D,则圆锥的底面圆的半径为AD.在$\mathrm{Rt }△ABC$中,$∠CAB = 90°, AC = 6, BC = 10, ∴ AB = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8. ∵ \dfrac{1}{2}AC · AB = \dfrac{1}{2}AD · BC, ∴ AD = \dfrac{AC · AB}{BC} = \dfrac{6 × 8}{10} = \dfrac{24}{5},∴$ 该几何体的表面积为上圆锥侧面积+下圆锥侧面积$= π · AD · AC + π · AD · AB = π · AD · (AC + AB) = π × \dfrac{24}{5} × (6 + 8) = \dfrac{336}{5}π$.
6. [2026常州兰陵中学模拟] 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径为10 cm，扇形的面积为$80π \ \mathrm{cm}^2$，则圆锥的底面半径为
8
cm.答案
6 8 设圆锥的底面半径为r cm,扇形的弧长为l cm.
∵扇形的面积为$80π \ \mathrm{cm}^2$,
∴$\dfrac{1}{2} × l × 10 = 80π$,解得$l = 16π$,则$2πr = 16π$,解得r = 8,即圆锥的底面半径为8 cm.
∵扇形的面积为$80π \ \mathrm{cm}^2$,
∴$\dfrac{1}{2} × l × 10 = 80π$,解得$l = 16π$,则$2πr = 16π$,解得r = 8,即圆锥的底面半径为8 cm.
7. [2026 扬州宝应期末] 如图,圆形铁皮$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$ m,从中剪出一个圆心角$∠ BAC = 90°$的扇形BAC,点A,B,C都在$\odot O$上,将这个扇形围成一个圆锥侧面,则圆锥的底面半径为
1
m.答案
7 1 如图,连接BC.
∵$∠BAC = 90°$,
∴BC为$\odot O$的直径,
∴$BC = 2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}(\mathrm{m}). ∵ AB = AC, ∠BAC = 90°, ∴ AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4(\mathrm{m}),∴$ 扇形ABC中$l_{\overset{\frown}{BC}} = \dfrac{90 × π × 4}{180} = 2π(\mathrm{m})$.
设围成的圆锥的底面半径为r m,则$2πr = 2π$,解得r = 1.
8. [2025南京建邺区二模] 如图，圆锥的母线AB的长为6，底面直径BC的长为4，M为AB的中点。将圆锥侧面沿母线AB剪开并展平，在展开图中M，C之间的距离为
$3\sqrt{3}$
。答案
8 $3\sqrt{3}$ 设圆锥侧面展开图扇形圆心角的度数为$n°$,则$\dfrac{n × π × 6}{180} = 4π$,解得$n = 120°$.如图,沿母线AB将圆锥侧面剪开并展开成平面图形,则$∠BAB' = 120°, ∴ ∠BAC = \dfrac{1}{2}∠BAB' = \dfrac{1}{2} × 120° = 60°$.连接BC,CM.
∵$AB = AC, ∠BAC = 60°, ∴ △ABC$是等边三角形,
∴$AC = BC$.又
∵M是AB的中点,
∴$CM ⊥ AB, AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 6 = 3, ∴ ∠AMC = 90°, ∴ CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$,即展开图中M,C之间的距离为$3\sqrt{3}$.
9. 如图,矩形纸片$ABCD$中,$AD=18\ \mathrm{cm}$,把它分割成正方形纸片$ABFE$和矩形纸片$EFCD$后,分别裁出扇形$BAF$和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,求圆锥的表面积.(结果保留$π$)
答案
9 解:设圆锥的底面半径为r cm,则$AE = BF = (18 - 2r)\mathrm{cm}$.
根据题意,得$\dfrac{90π × (18 - 2r)}{180} = 2πr$,解得r = 3,
则圆锥的侧面积为$\dfrac{90 × π (18 - 2 × 3)^2}{360} = 36π(\mathrm{cm}^2)$,
底面积为$πr^2 = π × 3^2 = 9π(\mathrm{cm}^2)$,
所以圆锥的表面积为$36π + 9π = 45π(\mathrm{cm}^2)$.
根据题意,得$\dfrac{90π × (18 - 2r)}{180} = 2πr$,解得r = 3,
则圆锥的侧面积为$\dfrac{90 × π (18 - 2 × 3)^2}{360} = 36π(\mathrm{cm}^2)$,
底面积为$πr^2 = π × 3^2 = 9π(\mathrm{cm}^2)$,
所以圆锥的表面积为$36π + 9π = 45π(\mathrm{cm}^2)$.
