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5. 甲、乙、丙、丁四位运动员参加男子100 m自由泳选拔赛，他们5次比赛的平均成绩$\bar{x}$和方差$s^2$如下表所示：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\bar{x}$(秒) | 48.67 |
| 48.67 | 49.03 |
| $s^2$(秒²) | 0.03 | 0.07 | 0.06 | 0.04 |
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加比赛，根据表中数据应选择（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\bar{x}$(秒) | 48.67 |
| 48.67 | 49.03 || $s^2$(秒²) | 0.03 | 0.07 | 0.06 | 0.04 |
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加比赛，根据表中数据应选择（
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
A
解析
【分析】
要选拔速度快且发挥稳定的运动员，需结合平均数和方差两个统计量判断：首先，100米自由泳的平均用时越短，说明速度越快，即平均成绩$\bar{x}$越小越好；其次，方差$s^2$反映数据的波动大小，方差越小说明成绩波动越小，发挥越稳定。解题时先比较四人的平均成绩，筛选出平均用时更短的选手，再在筛选出的选手中比较方差，找到方差最小的即为符合要求的运动员。
【解析】
第一步：比较平均成绩判断速度快慢
四人的平均成绩分别为：$\bar{x}_甲=48.67$秒，$\bar{x}_乙=49.05$秒，$\bar{x}_丙=48.67$秒，$\bar{x}_丁=49.03$秒。
因为$48.67＜49.03＜49.05$，所以甲和丙的平均用时更短，速度更快，首先排除乙、丁。
第二步：比较方差判断发挥稳定性
甲和丙的方差分别为：$s^2_甲=0.03$，$s^2_丙=0.06$。
因为$0.03＜0.06$，所以甲的成绩波动更小，发挥更稳定。
综上，甲同时满足速度快、发挥稳定的要求，应选择甲。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计量在实际场景的应用类题目，解题核心是准确理解平均数和方差的实际含义，结合题目的筛选规则逐步排查即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要选拔速度快且发挥稳定的运动员，需结合平均数和方差两个统计量判断：首先，100米自由泳的平均用时越短，说明速度越快，即平均成绩$\bar{x}$越小越好；其次，方差$s^2$反映数据的波动大小，方差越小说明成绩波动越小，发挥越稳定。解题时先比较四人的平均成绩，筛选出平均用时更短的选手，再在筛选出的选手中比较方差，找到方差最小的即为符合要求的运动员。
【解析】
第一步：比较平均成绩判断速度快慢
四人的平均成绩分别为：$\bar{x}_甲=48.67$秒，$\bar{x}_乙=49.05$秒，$\bar{x}_丙=48.67$秒，$\bar{x}_丁=49.03$秒。
因为$48.67＜49.03＜49.05$，所以甲和丙的平均用时更短，速度更快，首先排除乙、丁。
第二步：比较方差判断发挥稳定性
甲和丙的方差分别为：$s^2_甲=0.03$，$s^2_丙=0.06$。
因为$0.03＜0.06$，所以甲的成绩波动更小，发挥更稳定。
综上，甲同时满足速度快、发挥稳定的要求，应选择甲。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计量在实际场景的应用类题目，解题核心是准确理解平均数和方差的实际含义，结合题目的筛选规则逐步排查即可得到结果。
【难度系数】
0.9
6. 某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差
变大
（填“变小”“不变”或“变大”）。答案
变大
解析
【分析】
要判断方差的变化，首先明确方差是衡量数据波动程度的统计量，数据离散程度越大，方差越大。解题思路为：第一步先计算调整前后的总工资和总人数，确认平均工资是否改变；第二步对比调整前后数据与平均工资的离均差平方和变化，即可判断方差的变化趋势。
【解析】
1. 计算调整前的平均工资：
调整前总人数：$5+4+5=14$人
调整前总工资：$5×7000 + 4×6000 +5×5000 = 84000$元
调整前平均工资：$84000÷14=6000$元
2. 计算调整后的平均工资：
调整后各工种人数：电工$5+1=6$人，木工$4-2=2$人，瓦工$5+1=6$人，总人数仍为14人
调整后总工资：$6×7000 + 2×6000 +6×5000 = 84000$元，总工资不变，因此平均工资仍为6000元。
3. 分析方差变化：
方差公式为$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，总人数$n$和平均工资$\overline{x}$均不变，只需对比离均差平方和：
调整前离均差平方和：$5×(7000-6000)^2 +4×(6000-6000)^2 +5×(5000-6000)^2=10^7$
调整后离均差平方和：$6×(7000-6000)^2 +2×(6000-6000)^2 +6×(5000-6000)^2=1.2×10^7$
离均差平方和变大，因此方差变大。
【答案】
变大
【知识点】
1. 方差的意义
2. 平均数的计算
【点评】
本题考查方差的实际应用，解题核心是理解方差反映数据波动的本质，本题也可不用完整计算方差：减少接近平均数的木工人数，增加远离平均数的电工、瓦工人数，数据离散程度变大，直接可判断方差变大。
【难度系数】
0.7
要判断方差的变化，首先明确方差是衡量数据波动程度的统计量，数据离散程度越大，方差越大。解题思路为：第一步先计算调整前后的总工资和总人数，确认平均工资是否改变；第二步对比调整前后数据与平均工资的离均差平方和变化，即可判断方差的变化趋势。
【解析】
1. 计算调整前的平均工资：
调整前总人数：$5+4+5=14$人
调整前总工资：$5×7000 + 4×6000 +5×5000 = 84000$元
调整前平均工资：$84000÷14=6000$元
2. 计算调整后的平均工资：
调整后各工种人数：电工$5+1=6$人，木工$4-2=2$人，瓦工$5+1=6$人，总人数仍为14人
调整后总工资：$6×7000 + 2×6000 +6×5000 = 84000$元，总工资不变，因此平均工资仍为6000元。
3. 分析方差变化：
方差公式为$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，总人数$n$和平均工资$\overline{x}$均不变，只需对比离均差平方和：
调整前离均差平方和：$5×(7000-6000)^2 +4×(6000-6000)^2 +5×(5000-6000)^2=10^7$
调整后离均差平方和：$6×(7000-6000)^2 +2×(6000-6000)^2 +6×(5000-6000)^2=1.2×10^7$
离均差平方和变大，因此方差变大。
【答案】
变大
【知识点】
1. 方差的意义
2. 平均数的计算
【点评】
本题考查方差的实际应用，解题核心是理解方差反映数据波动的本质，本题也可不用完整计算方差：减少接近平均数的木工人数，增加远离平均数的电工、瓦工人数，数据离散程度变大，直接可判断方差变大。
【难度系数】
0.7
7. 某体校准备从甲、乙、丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛.他们在选拔比赛中,射靶10次的平均环数是$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=\overline{x}_丙=8.3$,方差分别是$s^2_甲=1.5,s^2_乙=2.8,s^2_丙=3.2$,那么根据以上提供的信息,你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是
甲
.答案
甲
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确选拔射击选手的标准：首先参考平均射击水平，平均水平更高的优先；如果平均水平一致，就要选择成绩更稳定的选手，降低比赛发挥失常的概率。衡量数据稳定性的统计量是方差，方差越小代表数据波动越小、成绩越稳定。本题中三人平均环数完全相等，因此只需比较三个人的方差大小，选择方差最小的选手即可。
【解析】
解：已知三人射靶10次的平均环数$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=\overline{x}_丙=8.3$，说明三人的平均射击水平相当。
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
比较三人的方差大小：$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.8$，$s^2_丙=3.2$，可得$s^2_甲＜s^2_乙＜s^2_丙$，因此甲的射击成绩最稳定。
综上，应该推荐甲参加全市射击比赛。
【答案】
甲
【知识点】
平均数；方差；统计量应用
【点评】
这道题是统计知识在实际场景中的典型应用，解题核心是掌握不同统计量的实际意义，当平均水平相同时，结合实际需求利用方差判断数据稳定性即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确选拔射击选手的标准：首先参考平均射击水平，平均水平更高的优先；如果平均水平一致，就要选择成绩更稳定的选手，降低比赛发挥失常的概率。衡量数据稳定性的统计量是方差，方差越小代表数据波动越小、成绩越稳定。本题中三人平均环数完全相等，因此只需比较三个人的方差大小，选择方差最小的选手即可。
【解析】
解：已知三人射靶10次的平均环数$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=\overline{x}_丙=8.3$，说明三人的平均射击水平相当。
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
比较三人的方差大小：$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.8$，$s^2_丙=3.2$，可得$s^2_甲＜s^2_乙＜s^2_丙$，因此甲的射击成绩最稳定。
综上，应该推荐甲参加全市射击比赛。
【答案】
甲
【知识点】
平均数；方差；统计量应用
【点评】
这道题是统计知识在实际场景中的典型应用，解题核心是掌握不同统计量的实际意义，当平均水平相同时，结合实际需求利用方差判断数据稳定性即可快速解题。
【难度系数】
0.85
8. 如图是甲、乙两位选手6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,我们可以判断
甲
(填“甲”或“乙”)选手的成绩更稳定.答案
甲
解析
【分析】
要判断哪位选手的成绩更稳定，核心是比较两人成绩的波动大小，数据波动越小代表成绩越稳定。我们可以利用方差的性质判断：方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小，数据离散程度越小，稳定性越好。解题时先从折线图中提取甲、乙两人6次的成绩，再分别计算两组数据的方差，比较方差大小即可得出结论，也可通过折线的起伏初步判断波动程度。
【解析】
首先从统计图中提取甲、乙6次投篮的进球数：
甲的成绩（单位：个）：6，5，6，4，7，6
乙的成绩（单位：个）：5，2，5，7，3，5
1. 计算甲的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{6+5+6+4+7+6}{6}=\frac{34}{6}=\frac{17}{3}$
2. 计算甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(6-\frac{17}{3})^2+(5-\frac{17}{3})^2+(6-\frac{17}{3})^2+(4-\frac{17}{3})^2+(7-\frac{17}{3})^2+(6-\frac{17}{3})^2]=\frac{8}{9}\approx0.89$
3. 计算乙的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{5+2+5+7+3+5}{6}=\frac{27}{6}=4.5$
4. 计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-4.5)^2+(2-4.5)^2+(5-4.5)^2+(7-4.5)^2+(3-4.5)^2+(5-4.5)^2]=\frac{31}{12}\approx2.58$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，因此甲选手的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义，折线统计图，数据稳定性判断
【点评】
本题结合折线统计图考查数据稳定性的判断，解题关键是掌握“方差越小，数据波动越小、稳定性越好”的性质，也可直接通过折线的起伏程度直观判断波动大小，快速得到结论。
【难度系数】
0.8
要判断哪位选手的成绩更稳定，核心是比较两人成绩的波动大小，数据波动越小代表成绩越稳定。我们可以利用方差的性质判断：方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小，数据离散程度越小，稳定性越好。解题时先从折线图中提取甲、乙两人6次的成绩，再分别计算两组数据的方差，比较方差大小即可得出结论，也可通过折线的起伏初步判断波动程度。
【解析】
首先从统计图中提取甲、乙6次投篮的进球数：
甲的成绩（单位：个）：6，5，6，4，7，6
乙的成绩（单位：个）：5，2，5，7，3，5
1. 计算甲的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{6+5+6+4+7+6}{6}=\frac{34}{6}=\frac{17}{3}$
2. 计算甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(6-\frac{17}{3})^2+(5-\frac{17}{3})^2+(6-\frac{17}{3})^2+(4-\frac{17}{3})^2+(7-\frac{17}{3})^2+(6-\frac{17}{3})^2]=\frac{8}{9}\approx0.89$
3. 计算乙的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{5+2+5+7+3+5}{6}=\frac{27}{6}=4.5$
4. 计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-4.5)^2+(2-4.5)^2+(5-4.5)^2+(7-4.5)^2+(3-4.5)^2+(5-4.5)^2]=\frac{31}{12}\approx2.58$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，因此甲选手的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义，折线统计图，数据稳定性判断
【点评】
本题结合折线统计图考查数据稳定性的判断，解题关键是掌握“方差越小，数据波动越小、稳定性越好”的性质，也可直接通过折线的起伏程度直观判断波动大小，快速得到结论。
【难度系数】
0.8
9. 周老师平时上班有A、B两条路线可以选择，她记录了两周共10天的上班路上所用的时间并绘制了统计图如图所示：
（1）这10天中周老师上班路上所用时间最多相差
（2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明；
（3）你建议周老师应如何选择上班路线？
（1）这10天中周老师上班路上所用时间最多相差
22
min；（2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明；
（3）你建议周老师应如何选择上班路线？
答案
(1) 22
(2) 路线A所用时间的平均数为$\frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min}^2)$，方差为$\frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66(\mathrm{min}^2)$，路线B所用时间的平均数为$\frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$，方差为$\frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8(\mathrm{min}^2)$，
∵ 66＞2.8，
∴ 上班路线B用时更稳定；
(3) 由用时的平均数知，路线A平均用时更少，所以建议选择路线A(答案不唯一，合理即可).
(2) 路线A所用时间的平均数为$\frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min}^2)$，方差为$\frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66(\mathrm{min}^2)$，路线B所用时间的平均数为$\frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$，方差为$\frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8(\mathrm{min}^2)$，
∵ 66＞2.8，
∴ 上班路线B用时更稳定；
(3) 由用时的平均数知，路线A平均用时更少，所以建议选择路线A(答案不唯一，合理即可).
解析
【分析】
（1）要计算10天中上班用时的最大差值，首先从两张折线统计图中找出所有用时的最大值和最小值，二者相减即可得到结果；
（2）判断用时稳定性的依据是方差的性质：方差越小，数据波动越小，用时越稳定。因此需要先分别计算路线A、B用时的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，比较方差大小即可得出结论；
（3）路线选择可结合平均数和方差的实际意义，从不同出行需求出发给出合理建议即可。
【解析】
（1）观察统计图可得，10天里上班最长用时为40min，最短用时为18min，二者差值为$40-18=22(\mathrm{min})$；
（2）计算路线A的相关统计量：
平均用时$\overline{x}_A=\frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min})$
方差$s_A^2=\frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66(\mathrm{min}^2)$
计算路线B的相关统计量：
平均用时$\overline{x}_B=\frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$
方差$s_B^2=\frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8(\mathrm{min}^2)$
$\because 66＞2.8$，即$s_A^2＞s_B^2$，$\therefore$ 上班路线B用时更稳定；
（3）若周老师希望平均通勤时间更短，可选择路线A；若周老师希望用时稳定、避免因拥堵迟到，可选择路线B。（合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{22}$
(2) 路线B用时更稳定，计算过程见解析；
(3) 示例：建议优先选择路线A（或若担心迟到可选择路线B，合理即可）
【知识点】
折线统计图、平均数计算、方差的意义与计算
【点评】
本题结合生活通勤场景，考查统计图表的信息提取能力，以及平均数、方差的计算和实际应用，能够让学生体会统计知识对生活决策的辅助作用，核心是掌握方差反映数据波动程度的性质。
【难度系数】
0.7
（1）要计算10天中上班用时的最大差值，首先从两张折线统计图中找出所有用时的最大值和最小值，二者相减即可得到结果；
（2）判断用时稳定性的依据是方差的性质：方差越小，数据波动越小，用时越稳定。因此需要先分别计算路线A、B用时的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，比较方差大小即可得出结论；
（3）路线选择可结合平均数和方差的实际意义，从不同出行需求出发给出合理建议即可。
【解析】
（1）观察统计图可得，10天里上班最长用时为40min，最短用时为18min，二者差值为$40-18=22(\mathrm{min})$；
（2）计算路线A的相关统计量：
平均用时$\overline{x}_A=\frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min})$
方差$s_A^2=\frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66(\mathrm{min}^2)$
计算路线B的相关统计量：
平均用时$\overline{x}_B=\frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$
方差$s_B^2=\frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8(\mathrm{min}^2)$
$\because 66＞2.8$，即$s_A^2＞s_B^2$，$\therefore$ 上班路线B用时更稳定；
（3）若周老师希望平均通勤时间更短，可选择路线A；若周老师希望用时稳定、避免因拥堵迟到，可选择路线B。（合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{22}$
(2) 路线B用时更稳定，计算过程见解析；
(3) 示例：建议优先选择路线A（或若担心迟到可选择路线B，合理即可）
【知识点】
折线统计图、平均数计算、方差的意义与计算
【点评】
本题结合生活通勤场景，考查统计图表的信息提取能力，以及平均数、方差的计算和实际应用，能够让学生体会统计知识对生活决策的辅助作用，核心是掌握方差反映数据波动程度的性质。
【难度系数】
0.7
