探究性作业
探究“分蛋糕”中的分数除法
一块香甜的蛋糕，每次都把它平均分成2份，然后留1份继续分，分了几次之后，还剩下多少呢？今天我们就从一块蛋糕分起，探究连续平均分后剩余蛋糕的分数规律，感受分数连除的魅力！
探究一:平均分
一块完整的蛋糕，我们把它看作单位“1”。第一次将蛋糕平均分成2份，只留下1份，剩下的蛋糕是原来的几分之几？
在右图中表示切分的过程，将剩下的部分涂上阴影。
可以用算式()÷2=()表示。
结论:第一次分完，剩下的蛋糕是原来的()。

探究二:连续平均分
在第一次分完剩下$\frac{1}{2}$块蛋糕的基础上，第二次再平均分成2份，只留1份，现在剩下的蛋糕是原来的几分之几？
在右图中表示切分的过程，将剩下的部分涂上阴影。
可以用算式()÷2=()表示，也可以表示为()÷2÷2=()。
结论:第二次分完，剩下的蛋糕是原来的()。

探究一：涂色结果见，算式$1÷2=\frac{1}{2}$，第一次分完剩下的蛋糕是原来的$\frac{1}{2}$。
探究二：涂色结果见，算式$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{4}$，也可以表示为$1÷2÷2=\frac{1}{4}$，第二次分完剩下的蛋糕是原来的$\frac{1}{4}$。

探究三:猜想连除规律
在第二次分完剩下蛋糕的基础上,第三次再平均分成2份,只留1份,现在剩下的蛋糕是原来的几分之几?
在右图中表示切分的过程,将剩下的部分涂上阴影。
可以用算式()÷2=()表示,也可以表示为()÷2÷2÷2=()。
结论:第三次分完,剩下的蛋糕是原来的()。
观察前3次的结果:
第一次:$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$ 第二次:$\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$ 第三次:$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$
猜想:第n次分完后,剩下的蛋糕是原来的()。

涂色结果见，算式$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$，也可以表示为$1÷2÷2÷2=\frac{1}{8}$，第三次分完剩下的蛋糕是原来的$\frac{1}{8}$，猜想第n次分完后剩下的蛋糕是原来的$\frac{1}{2^n}$。

按照同样的方法,继续分第四次,验证我们的猜想是否正确。
在右图中表示第四次切分的过程。
列式:$(\quad)÷2=(\quad)$
$(\quad)=(\quad)$

规律确认:
多次验证后,我们发现:每次把当前蛋糕平均分成2份,只留1份,剩下的部分就是前一次的$(\quad)$,用分数连除表示就是1连续除以n个2。
探究五:拓展变式——改变平均分的份数
如果每次不是平均分成2份,而是平均分成3份,只留2份,规律又会变成什么样呢?
•第1次分:把1平均分成3份,留2份,列式:$1÷(\quad)×(\quad)=1×(\quad)=(\quad)$。
•第2次分:把$\frac{2}{3}$再平均分成3份,留2份,列式:$\frac{2}{3}÷3×2=\frac{2}{3}×(\quad)=(\quad)^2=(\quad)$。
•第3次分:$(\quad)÷3×2=(\quad)^3=(\quad)$。
规律总结:若每次把当前蛋糕平均分成k份,只留m份($m＜k$),则第n次分完后,剩下的蛋糕是原来的$(\quad)^n$。

第四次切分结果见，列式：$\frac{1}{8}÷2=\frac{1}{16}$，$1÷2÷2÷2÷2=\frac{1}{16}$；每次剩下的部分就是前一次的$\frac{1}{2}$。
第1次分：$1÷3×2=1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$
第2次分：$\frac{2}{3}÷3×2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
第3次分：$\frac{4}{9}÷3×2=(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$
规律总结：第n次分完后剩下的蛋糕是原来的$(\frac{m}{k})^n$