2. 如图①，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，∠B＝90°，D，E分别为边AB，BC上的点，且BD＝BE＝6，将△DBE绕点B逆时针旋转α（0°＜α≤180°）.
（1）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：AD＝CE；
（2）若α＝60°，求AD的长；
（3）在△DBE旋转过程中，直接写出CD的最大值.

2. （1）证明 由旋转知∠ABD=∠CBE.
在△ABD 和△CBE 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
所以△ABD≌△CBE（SAS）.
所以AD=CE.
（2）解 如图，过点 E 作 $EH ⊥ BC$ 于点 H.

因为∠EBH=α=60°，$EH⊥BC$，
所以∠BEH=30°.
所以 $BH=\frac{1}{2}BE=3$.
所以 $EH=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
所以 $CH=BC-BH=5$，
所以 $EC=\sqrt{HC^2+EH^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$. 所以 $AD=EC=2\sqrt{13}$.
（3）14

【分析】
（1）要证两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。根据旋转的性质可得到一组等角∠ABD=∠CBE，结合已知AB=BC、BD=BE，可通过SAS判定△ABD与△CBE全等，进而得到AD=CE。
（2）由（1）的结论AD=CE，可将求AD的长转化为求CE的长。过E作BC的垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出BH、EH的长度，再用勾股定理计算CE即可得到AD的长度。
（3）旋转过程中点D的轨迹是以B为圆心、BD长为半径的圆，根据点到圆上点的最值规律：点到圆上点的最大距离=点到圆心的距离+半径，即可求出CD的最大值。
【解析】
（1）证明：由旋转的性质可知∠ABD=∠CBE。
在△ABD和△CBE中：
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE。
（2）解：过点E作$EH ⊥ BC$于点H，如图所示：

∵旋转角α=60°，
∴∠EBH=60°，
∵$EH⊥BC$，
∴∠BEH=90°-60°=30°，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×6=3$，
由勾股定理得$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
又
∵BC=8，
∴$CH=BC-BH=8-3=5$，
在Rt△EHC中，$EC=\sqrt{HC^2+EH^2}=\sqrt{5^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$，
由（1）知AD=CE，
∴$AD=2\sqrt{13}$。
（3）解：旋转过程中点D的轨迹是以B为圆心、BD=6为半径的圆，当D在CB的延长线与该圆的交点处时，CD取最大值，最大值为BC+BD=8+6=14。
【答案】
（1）由旋转知∠ABD=∠CBE.
在△ABD 和△CBE 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
所以△ABD≌△CBE（SAS）.
所以AD=CE.
（2）如图，过点 E 作 $EH ⊥ BC$ 于点 H.

因为∠EBH=α=60°，$EH⊥BC$，
所以∠BEH=30°.
所以 $BH=\frac{1}{2}BE=3$.
所以 $EH=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
所以 $CH=BC-BH=5$，
所以 $EC=\sqrt{HC^2+EH^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$. 所以 $AD=EC=2\sqrt{13}$.
（3）14
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题围绕旋转的几何变换设置问题，梯度明显，既考查了基础的全等证明、勾股定理计算能力，也考查了动点轨迹求最值的综合分析能力，能较好地检验学生对几何变换类问题的掌握程度。
【难度系数】
0.65