3. 如图，将$△ ABC$折叠，使点A落在点$A'$处，折痕为DE.若$∠ A=25°$，则$∠ 2 - ∠ 1$的度数为 （）


A.$25°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$

3. B

专题三 与三角形角平分线相关的问题
典型例题
某数学兴趣小组对“三角形内角平分线（或外角平分线）的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究.
（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$，若$∠ A＝66°$，则$∠ BPC＝$；
（2）如图②，$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ABD$的平分线交于点$E$，若$∠ A＝α$，则$∠ E＝$（用含$α$的式子表示）；
（3）如图③，$△ ABC$的外角$∠ CBM$与$∠ BCN$的平分线交于点$Q$，请写出$∠ Q$与$∠ A$之间的数量关系，并说明理由.

（1）$123°$ 解析 因为$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$，所以$BP$，$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$. 所以$∠ PBC＝\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB＝\frac{1}{2}∠ ACB$.
因为$∠ BPC＋∠ PBC＋∠ PCB＝180°$，所以$∠ BPC＝180°－(∠ PBC＋∠ PCB)＝180°－(\frac{1}{2}∠ ABC＋\frac{1}{2}∠ ACB)＝180°－\frac{1}{2}(∠ ABC＋∠ ACB)＝180°－\frac{1}{2}(180°－∠ A)＝180°－90°＋\frac{1}{2}∠ A ＝90°＋\frac{1}{2}×66°＝123°$.
（2）$\frac{1}{2}α$ 解析 因为$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ABD$的平分线交于点$E$，所以$∠ ECB＝\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ EBD＝\frac{1}{2}∠ ABD$.
因为$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，$∠ EBD$是$△ BCE$的外角，
所以$∠ ABD＝∠ A＋∠ ACB$，$∠ EBD＝∠ ECB＋∠ E$.
所以$∠ EBD＝\frac{1}{2}∠ ABD＝\frac{1}{2}(∠ A＋∠ ACB)＝\frac{1}{2}∠ A＋∠ ECB$.
即$\frac{1}{2}∠ A＋∠ ECB ＝∠ E＋∠ ECB$.
所以$∠ E＝\frac{1}{2}∠ A＝\frac{1}{2}α$.
（3）解 $∠ Q＝90°－\frac{1}{2}∠ A$. 理由如下：
因为$∠ CBM$与$∠ BCN$是$△ ABC$的外角，
所以$∠ CBM＝∠ A＋∠ ACB$，$∠ BCN＝∠ A＋∠ ABC$.
因为$△ ABC$的外角$∠ CBM$与$∠ BCN$的平分线交于点$Q$，
所以$∠ QBC＝\frac{1}{2}(∠ A＋∠ ACB)$，$∠ QCB＝\frac{1}{2}(∠ A＋∠ ABC)$.
因为$∠ QBC＋∠ QCB＋∠ Q＝180°$，
所以$∠ Q ＝180°－∠ QBC－∠ QCB＝180°－\frac{1}{2}(∠ A＋∠ ACB)－\frac{1}{2}(∠ A＋∠ ABC)＝180°－\frac{1}{2}∠ A－\frac{1}{2}(∠ A＋∠ ABC＋∠ ACB)＝180°－\frac{1}{2}∠ A－90°＝90°－\frac{1}{2}∠ A$.

（1）$\boldsymbol{123°}$
（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}α}$
（3）$\boldsymbol{∠ Q = 90° - \frac{1}{2}∠ A}$

解：
（1）∵ BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ $∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ BPC + ∠ PBC + ∠ PCB = 180°$，
∴ $∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 66° = 114°$，
∴ $∠ BPC = 180° - \frac{1}{2} × 114° = 123°$。
（2）∵ CE平分$∠ ACB$，BE平分$∠ ABD$，
∴ $∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ EBD = \frac{1}{2}∠ ABD$。
∵ $∠ ABD$是$△ ABC$的外角，$∠ EBD$是$△ BCE$的外角，
∴ $∠ ABD = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ EBD = ∠ ECB + ∠ E$，
∴ $\frac{1}{2}∠ ABD = \frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}∠ A + ∠ ECB$，
代入得$\frac{1}{2}∠ A + ∠ ECB = ∠ E + ∠ ECB$，
∴ $∠ E = \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}α$。
（3）$∠ Q = 90° - \frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵ $∠ CBM$与$∠ BCN$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ CBM = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCN = ∠ A + ∠ ABC$。
∵ BQ平分$∠ CBM$，CQ平分$∠ BCN$，
∴ $∠ QBC = \frac{1}{2}∠ CBM = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)$，
$∠ QCB = \frac{1}{2}∠ BCN = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$。
在$△ QBC$中，$∠ QBC + ∠ QCB + ∠ Q = 180°$，
∴ $∠ Q = 180° - (∠ QBC + ∠ QCB)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB) - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$
$= 180° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB)$。
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ Q = 180° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2} × 180° = 90° - \frac{1}{2}∠ A$。
最终