【例1】已知反比例函数 $ y = \frac{k - 3}{x} $（k为常数，k≠3）。
(1)若点A(2,−1)在这个函数的图象上，求k的值。
(2)若在这个函数图象的每一个分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围。
(3)若k=9，试判断点B(−3,−2)，C$ ( \frac{1}{2}, 3 ) $是否在这个函数的图象上，并说明理由。
解:
【规律方法】
判断点是否在反比例函数的图象上的方法
若点的横坐标和纵坐标的积等于比例系数k，则该点在反比例函数的图象上；若不等于k，则该点不在反比例函数的图象上。

解:(1)$k=1$.
(2)$k＞3$.
(3)当$k=9$时,该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$.
因为$-3×(-2)=6$,$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$,
所以点$B(-3,-2)$在这个函数的图象上,点$C(\frac{1}{2},3)$不在这个函数的图象上.

【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的横、纵坐标代入反比例函数解析式，建立关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m为常数，m≠0）中，当m＞0时，函数图象的每一个分支上y随x的增大而减小，本题中比例系数为$k-3$，令$k-3＞0$，解不等式即可得到k的取值范围。
(3) 先将k=9代入解析式得到具体的反比例函数，再根据“反比例函数图象上的点横、纵坐标的乘积等于比例系数”的规律，分别计算点B、C的横纵坐标乘积，和比例系数对比即可判断点是否在图象上。
【解析】
(1)
∵点A(2,−1)在反比例函数$y = \frac{k - 3}{x}$的图象上
∴将x=2，y=-1代入解析式得：$-1=\frac{k-3}{2}$
等式两边同乘2得：$-2=k-3$
解得：$k=1$
(2)
∵该反比例函数图象的每一个分支上，y随x的增大而减小
∴比例系数$k-3＞0$
解得：$k＞3$
(3) 当$k=9$时，$k-3=9-3=6$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$
对于点B(-3,-2)：横纵坐标的乘积为$(-3)×(-2)=6$，与比例系数相等，因此点B在该函数图象上；
对于点C$(\frac{1}{2},3)$：横纵坐标的乘积为$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}≠6$，与比例系数不相等，因此点C不在该函数图象上。
【答案】
(1)$k=1$
(2)$k＞3$
(3)点B(-3,-2)在这个函数的图象上，点C$(\frac{1}{2},3)$不在这个函数的图象上。
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，围绕反比例函数的核心性质和图象上点的坐标特征设题，熟练掌握相关性质是解题的关键，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.8

1.已知反比例函数$y=\frac{-7}{x}$，下列选项正确的是（）

A.函数图象在第一、第三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y随x的增大而增大

1.C

【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：1. 图象所在象限由$k$的符号决定；2. 增减性的描述必须限定“在每个象限内”才成立。第一步先确定本题中$k$的值，判断正负，再逐一分析每个选项：先判断象限相关的A、C选项，再判断增减性相关的B、D选项，注意甄别增减性是否有前提限定，即可选出正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
本题中反比例函数为$y=\frac{-7}{x}$，即$k=-7＜0$：
因此函数图象位于第二、第四象限，故A选项错误，C选项正确；
增减性必须满足“在每个象限内”的前提才成立，B、D选项均未限定该前提，描述错误，例如取$x_1=-1$时$y_1=7$，$x_2=1$时$y_2=-7$，$x$增大但$y$减小，不符合D的描述，故B、D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是忽略增减性成立的“在同一象限内”的前提条件，直接笼统判断$y$随$x$的变化规律。
【难度系数】
0.8

2.已知反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$（$m$为常数，且$m≠3$）。
(1)若在其图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大，求$m$的取值范围。
(2)若点$A(m+1,2)$，$B(4,n)$均在该反比例函数的图象上：
①求$m$，$n$的值。
②当$x＞1$时，求$y$的取值范围。

2.解:(1)$m＜3$.
(2)①$m=-5$,$n=-2$. ②$-8＜y＜0$.

【分析】
本题考查反比例函数的基础性质与应用，解题思路如下：
(1) 回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的增减性规律：当$k＜0$时，图象的每个分支上$y$随$x$的增大而增大，因此只需令本题的比例系数$m-3＜0$，即可求解$m$的范围。
(2) ① 若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将$A$点坐标代入解析式即可列方程求出$m$的值，再得到函数解析式后代入$B$点坐标即可求$n$；② 先明确反比例函数的比例系数符号，判断$x＞0$时的增减性，再计算$x=1$对应的$y$值，结合函数增减性和$x＞0$时$y$的符号即可求出$y$的取值范围。
【解析】
(1) 已知反比例函数图象的每一个分支上$y$随$x$的增大而增大，
根据反比例函数性质，得比例系数$m-3＜0$，
解得：$m＜3$。
(2) ① 将点$A(m+1,2)$代入反比例函数解析式$y=\frac{m-3}{x}$，得：
$2=\frac{m-3}{m+1}$，
两边同乘$m+1$（$m≠ -1$），得$2(m+1)=m-3$，
展开得$2m+2=m-3$，
移项合并同类项得：$m=-5$。
将$m=-5$代入解析式，得$y=\frac{-5-3}{x}=-\frac{8}{x}$，
再将点$B(4,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得：
$n=-\frac{8}{4}=-2$。
② 由①知反比例函数为$y=-\frac{8}{x}$，比例系数$k=-8＜0$，
因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，且$y＜0$。
当$x=1$时，$y=-\frac{8}{1}=-8$，
又因为$x＞1$时，$x$越大$y$越接近$0$，
因此当$x＞1$时，$y$的取值范围是$-8＜y＜0$。
【答案】
(1)$m＜3$；(2)①$m=-5$，$n=-2$；②$-8＜y＜0$
【知识点】
反比例函数的性质；点与函数图象的关系；解一元一次方程
【点评】
本题属于反比例函数基础题，核心考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，代入法求参数是此类题的常用技巧，求函数取值范围时要结合函数的增减性分析，注意不要遗漏函数值的符号限制。
【难度系数】
0.8

【例2】在同一平面直角坐标系中，函数$y=x+k$与$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象大致是（）

【例2】B

【分析】
本题需结合一次函数与反比例函数的图象性质，通过分类讨论参数k的正负，逐一验证选项的合理性。首先先由一次函数的斜率特征排除明显错误的选项，再分k＞0和k＜0两种情况，分别判断两个函数的图象位置、截距是否一致，最终选出正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数$y=x+k$的斜率：一次项系数为$1＞0$，因此直线图象呈左下向右上倾斜的趋势。观察选项C、D中的直线呈左上向右下倾斜，斜率为负，不符合一次函数特征，首先排除C、D。
2. 分类讨论参数$k$的取值：
① 当$k＞0$时：
一次函数$y=x+k$的常数项为正，因此直线与$y$轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，图象位于第一、三象限，与选项B的图象特征完全一致。
② 当$k＜0$时：
一次函数$y=x+k$的常数项为负，直线与$y$轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，图象应位于第二、四象限，而选项A中反比例函数位于第一、三象限，说明$k＞0$，前后矛盾，排除A。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质，分类讨论
【点评】
本题是函数图象判断的典型基础题，解题核心是抓住参数k对两类函数图象的共同影响，通过分类讨论、排除法快速得到答案，能够有效考查对函数基本性质的掌握程度和读图分析能力。
【难度系数】
0.7