学习任务一 用直接开平方法解一元二次方程
1.一般地,对于方程$x^2 = p$.
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有的实数根 $x_1 =$ ，$x_2 =$ ；
(2)当$p=0$时,方程有的实数根 $x_1=x_2=0$；
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2≥0$,所以方程.
2.形如$x^2 = p(p≥0)$或$(mx + n)^2 = p(m≠0, p≥0)$的一元二次方程可利用平方根的意义,用开平方的方法直接求解,这种解方程的方法叫作直接开平方法.
3.用直接开平方法解一元二次方程的实质:根据平方根的意义,把一个一元二次方程“”,转化为方程.

1.(1)两个不相等，$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$
(2)两个相等
(3)无实数根
3.降次，一元一次

【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基础理论，解题核心是结合平方根的意义分析方程解的情况，理解一元二次方程解法的核心思路：
1. 针对第1问的三个小问，回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，对应判断$x^2=p$在$p$不同取值范围下的解的情况即可。
2. 针对第3问，明确直接开平方法的作用是将含未知数的二次式转化为一次式，也就是实现“降次”，把一元二次方程转化为已经会解的一元一次方程。
【解析】
1. (1) 当$p＞0$时，正数有两个不相等的互为相反数的平方根，因此方程$x^2=p$有两个不相等的实数根，分别为$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，0的平方根只有0一个，因此方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
(3) 当$p＜0$时，负数没有平方根，且任意实数的平方都为非负数，因此方程无实数根；
3. 用直接开平方法解一元二次方程时，将含未知数的二次平方式开平方转化为一次式，实质是根据平方根的意义把一元二次方程“降次”，转化为一元一次方程求解。
【答案】
1.(1)两个不相等，$\sqrt{p}$，$-\sqrt{p}$
(2)两个相等
(3)无实数根
3.降次，一元一次
【知识点】
平方根的意义；直接开平方法；降次思想
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容是直接开平方法的核心理论，是后续学习其他一元二次方程解法的基础，熟练掌握平方根的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

学习任务二 用配方法解一元二次方程
|情境探究|
从旧知到新知
已知方程：$2x^2 + 4x - 6 = 0$。
问题1：将的系数化为1，可得方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，把常数项移到等号的右边可得$x^2 + 2x = 3$。
问题2：在方程$x^2 + 2x = 3$的两边同时加，并把方程左边写成完全平方形式，可得方程。
问题3：对问题2中得到的方程利用直接开平方法求解可得$x_1 =$，$x_2 =$。
|知识梳理|
1.配方法：将方程左边配成形式，右边为常数，来解一元二次方程的方法。
2.配方时，方程的二次项系数化为1，两边同时加的数等于一次项系数一半的。

问题1:二次项(或$x^2$)
问题2:1，$(x+1)^2=4$
问题3:1，$-3$
知识梳理
1.完全平方
2.平方

【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的基础步骤，解题时按照配方法的标准流程逐一推导即可：①配方法第一步是将二次项系数化为1，对应问题1；②再根据配方规则，给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方形式，对应问题2；③最后用直接开平方法求解方程的根，对应问题3；知识梳理是对配方法核心概念和关键步骤的总结，结合操作过程即可填写。
【解析】
问题1：配方法解一元二次方程的首步为二次项系数化1，原方程$2x^2 + 4x - 6 = 0$两边同时除以2，得到$x^2 + 2x - 3 = 0$，因此此处填二次项（或$x^2$）。
问题2：配方时需在等式两边加一次项系数一半的平方，方程$x^2 + 2x = 3$的一次项系数为2，一半的平方为$1^2=1$，因此两边加1；左边整理为完全平方式$(x+1)^2$，右边为$3+1=4$，可得方程$(x+1)^2=4$。
问题3：对$(x+1)^2=4$直接开平方，得$x+1=2$或$x+1=-2$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
知识梳理1：配方法的定义为将方程左边配成完全平方形式，右边为常数，再求解一元二次方程的方法，因此填完全平方。
知识梳理2：配方的关键规则为，二次项系数化为1后，方程两边同时加的数等于一次项系数一半的平方，因此填平方。
【答案】
问题1:二次项(或$x^2$)
问题2:1，$(x+1)^2=4$
问题3:1，$-3$
知识梳理
1.完全平方
2.平方
【知识点】
配方法；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题为配方法的基础巩固题，围绕配方法解一元二次方程的完整流程设题，帮助学生理清配方法的操作步骤，是后续求解复杂一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

【例1】用直接开平方法解下列方程：
(1)$4(x-2)^2 -25=0$；
(2)$\frac{1}{2}(2y+2)^2=3$；
(3)$4x^2 +4x +1=5$。
解：

(1)$x_1=\frac{9}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2)$y_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},y_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
(3)$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$

【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再对等式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解。
对于(1)：先移项把常数项移到等号右侧，再将完全平方式的系数化为1，最后开平方求解；
对于(2)：先将完全平方式的系数化为1，再开平方求解；
对于(3)：先将左侧的多项式逆用完全平方公式写成完全平方式的形式，再开平方求解。
【解析】
(1) 移项，得 $4(x-2)^2=25$
两边同时除以4，得 $(x-2)^2=\frac{25}{4}$
开平方，得 $x-2=\pm\frac{5}{2}$
即 $x-2=\frac{5}{2}$ 或 $x-2=-\frac{5}{2}$
解得 $x_1=\frac{9}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 两边同时乘2，得 $(2y+2)^2=6$
开平方，得 $2y+2=\pm\sqrt{6}$
即 $2y+2=\sqrt{6}$ 或 $2y+2=-\sqrt{6}$
移项、系数化为1，得 $y_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},y_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
(3) 方程左侧逆用完全平方公式，得 $(2x+1)^2=5$
开平方，得 $2x+1=\pm\sqrt{5}$
即 $2x+1=\sqrt{5}$ 或 $2x+1=-\sqrt{5}$
移项、系数化为1，得 $x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{9}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2)$y_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},y_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
(3)$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题关键是熟练将方程转化为符合直接开平方的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8