1.(清远)下列各点中,在反比例函数$ y= \frac{4}{x} $的图象上的是 ()
A.(-1,4)
B.(1,-4)
C.(1,4)
D.(2,3)

C

对于反比例函数$y = \frac{4}{x}$，若点$(x, y)$在该函数图象上，则必须满足$xy = 4$。
A. 对于点$(-1, 4)$，有$(-1) × 4 = -4$，不满足$xy = 4$，所以不在函数图象上；
B. 对于点$(1, -4)$，有$1 × (-4) = -4$，不满足$xy = 4$，所以不在函数图象上；
C. 对于点$(1, 4)$，有$1 × 4 = 4$，满足$xy = 4$，所以在函数图象上；
D. 对于点$(2, 3)$，有$2 × 3 = 6$，不满足$xy = 4$，所以不在函数图象上。

2.(三明)在反比例函数$ y= \frac{1-k}{x} $的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可能是 ()
A.-1
B.0
C.1
D.2

D

对于反比例函数$y = \frac{1-k}{x}$，若$y$随$x$的增大而增大，则其系数$1-k$必须小于0。解不等式$1-k ＜ 0$，得到$k ＞ 1$。根据选项，只有$k = 2$满足条件。

3.(娄底)一次函数$ y= kx+b 与反比例函数 y= \frac{k}{x} $在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示,则下列判断正确的是()

A.$ k＞0,b＞0 $
B.$ k＞0,b＜0 $
C.$ k＜0,b＞0 $
D.$ k＜0,b＜0 $

C

由题图可知，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限，所以$k＜0$。
一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限，则$b＞0$。
所以$k＜0$，$b＞0$。

4.(凉山)已知函数$ y= (m+1)x^{m^{2}-5} $是反比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是 ()
A.2
B.-2
C.±2
D.$ -\frac{1}{2} $

1. 因为函数 $y = (m+1)x^{m^2 - 5}$ 是反比例函数，所以 $m^2 - 5 = -1$。
$ m^2 - 5 = -1 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2 $
2. 因为图象在第二、四象限内，所以 $m+1 ＜ 0$。
$ m + 1 ＜ 0 \implies m ＜ -1 $
3. 结合 $m = \pm 2$ 和 $m ＜ -1$，得 $m = -2$。
最终结论：B.-2

5.(丹东)写出"图象的两个分支分别位于第二、四象限内"的反比例函数(写出一个即可).

$y = -\frac{1}{x}$（答案不唯一）

反比例函数的一般形式为$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）。
当$k ＞ 0$时，反比例函数的图象位于第一、三象限；
当$k ＜ 0$时，反比例函数的图象位于第二、四象限。
因此，要满足题目条件“图象的两个分支分别位于第二、四象限内”，只需取$k ＜ 0$即可。
例如，取$k = -1$，则反比例函数为$y = -\frac{1}{x}$。

6.(赤峰)已知反比例函数$ y= \frac{2}{x} $,当$ -4\leq x\leq -1 $时,y的最大值是.

对于反比例函数$y = \frac{2}{x}$，其中$k = 2＞0$，根据反比例函数的性质，该函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$-4\leq x\leq -1$时，$x$的取值范围在第三象限。因为在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，所以当$x$取最小值时，$y$取得最大值。
在$-4\leq x\leq -1$中，$x$的最小值为$-4$，此时$y=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$；$x$的最大值为$-1$，此时$y=\frac{2}{-1}=-2$。
比较$-\frac{1}{2}$和$-2$的大小，$-\frac{1}{2}＞-2$，所以$y$的最大值是$-\frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$

7.(衡阳)如图,已知双曲线$ y= \frac{k}{x}(k＞0) $经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C. 若$ \triangle OBC $的面积为3,则k= ______.

设直角三角形$OAB$的直角顶点为$A$，$A$在$x$轴上，坐标为$(a,0)$，则$AB\perp OA$，$B$坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$）。
1. 求中点$D$坐标及关系式：
$OB$中点$D$坐标为$\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$，因$D$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，故$\frac{b}{2}=\frac{k}{\frac{a}{2}}$，化简得$ab=4k$。
2. 求点$C$坐标：
$AB$为直线$x=a$，与双曲线交于$C$，则$C$坐标为$\left(a,\frac{k}{a}\right)$。
3. 计算$\triangle OBC$面积：
$BC$长为$b-\frac{k}{a}$，$O$到直线$x=a$距离为$a$，面积$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×\left(b-\frac{k}{a}\right)× a=3$，化简得$ab - k=6$。
4. 求解$k$：
由$ab=4k$代入$ab - k=6$，得$4k - k=6$，解得$k=2$。
$2$

8.(西安)已知$ A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) $都在反比例函数 $ y= \frac{6}{x} $ 的图象上. 若$ x_{1}x_{2}= -3 $,则$ y_{1}y_{2} $的值为.

答题卡：
解：
由于点$A(x_{1},y_{1})$和$B(x_{2},y_{2})$都在反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图象上，根据反比例函数的定义，我们有：
$y_{1} = \frac{6}{x_{1}}$
$y_{2} = \frac{6}{x_{2}}$
接下来，我们需要求$y_{1}y_{2}$的值。根据乘法公式，我们可以将$y_{1}y_{2}$表示为：
$y_{1}y_{2} = \frac{6}{x_{1}} \cdot \frac{6}{x_{2}}$
$= \frac{36}{x_{1}x_{2}}$
题目已给出$x_{1}x_{2} = -3$，代入上式得：
$y_{1}y_{2} = \frac{36}{-3}$
$= -12$
故答案为：$-12$。