5. 如图,在△ABC中,DE//BC,若AD= 1,DE= 2,BD= 3.则BC= .

8

因为$DE// BC$，
所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
则$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
已知$AD = 1$，$BD = 3$，
所以$AB=AD + BD=1 + 3 = 4$，$DE = 2$。
将$AD = 1$，$AB = 4$，$DE = 2$代入$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$中，
得到$\frac{1}{4}=\frac{2}{BC}$，
解得$BC = 8$。

6. 如图,ED//BC,BD,CE相交于点O,$\frac{EO}{OC}= \frac{1}{3}$,AE= 3,则BE= .

9

因为$ED// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{EO}{OC}$。
已知$\frac{EO}{OC}=\frac{1}{3}$，$AE = 3$，设$BE=x$，则$\frac{3}{x}=\frac{1}{3}$。
通过交叉相乘可得$x = 9$，即$BE = 9$。

7. 如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点M为AD的中点,连接CM交BD于点N,且ON= 1,求BD的长.(用两种不同的方法求解)

BD=6

方法一：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，O为BD中点，设BO=OD=x，则BD=2x。
∵M为AD中点，∴MD=AD/2=BC/2，即MD/BC=1/2。
∵AD//BC，∴∠MDN=∠NBC，∠DNM=∠BNC，∴△DNM∽△BNC，相似比为MD/BC=1/2，∴DN/BN=1/2。
∵ON=1，N在OD上，∴BN=BO+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1。
由DN/BN=1/2，得(x-1)/(x+1)=1/2，解得x=3。
∴BD=2x=6。
方法二：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC中点，又M为AD中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM//CD，OM=CD/2。
∵OM//CD，∴∠OMN=∠DCN，∠ONM=∠DNC，∴△OMN∽△DCN，相似比为OM/CD=1/2，∴ON/DN=1/2。
∵ON=1，∴DN=2ON=2，∴OD=ON+DN=1+2=3。
∵O为BD中点，∴BD=2OD=6。

8. 如图,已知AB//CD//EF,解答下列各题:
(1)∵EF//AB,∴△DEF∽,∴$\frac{EF}{AB}= $$\frac{}{BD}$;
(2)∵EF//CD,∴△BEF∽,∴$\frac{EF}{CD}= $$\frac{}{BD}$;
(3)猜想:$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}= $;
(4)利用(3)中猜想的结论,当AB= 4,CD= 6时,求EF的长.

(1)$\triangle DAB$；$\frac{DF}{}$；(2)$\triangle BCD$；$\frac{BF}{}$；(3)$\frac{1}{EF}$；(4)$2.4$

(1)已知$EF// AB$，根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似，可得$\angle DEF=\angle DAB$，$\angle DFE=\angle DBA$，所以$\triangle DEF\sim\triangle DAB$。
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$。
(2)因为$EF// CD$，同理可得$\angle BEF=\angle BCD$，$\angle BFE=\angle BDC$，所以$\triangle BEF\sim\triangle BCD$。
由相似三角形对应边成比例，可知$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$。
(3)由(1)得$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$，由(2)得$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$，将两式相加可得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}$，因为$DF + BF = BD$，所以$\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}=\frac{DF + BF}{BD}=\frac{BD}{BD}=1$，即$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$。
等式两边同时除以$EF$，得到$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$。
(4)当$AB = 4$，$CD = 6$时，代入$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$可得：
$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1}{EF}$，通分计算$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$，则$\frac{5}{12}=\frac{1}{EF}$，解得$EF=\frac{12}{5}=2.4$。