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6. 已知 $ m = 5 $,$ x = y - 3 $,则代数式 $ mx^{2} - 2mxy + my^{2} $的值为(
A.-15
B.25
C.-45
D.45
D
)A.-15
B.25
C.-45
D.45
答案
D
解析
首先，将代数式 $mx^{2} - 2mxy + my^{2}$ 进行因式分解。
$mx^{2} - 2mxy + my^{2} = m(x^{2} - 2xy + y^{2}) = m(x - y)^{2}$
然后，根据题目给出的条件 $m = 5$ 和 $x = y - 3$，我们可以将 $x - y$ 替换为 $-3$。
$m(x - y)^{2} = 5 × (-3)^{2} = 5 × 9 = 45$
$mx^{2} - 2mxy + my^{2} = m(x^{2} - 2xy + y^{2}) = m(x - y)^{2}$
然后，根据题目给出的条件 $m = 5$ 和 $x = y - 3$，我们可以将 $x - y$ 替换为 $-3$。
$m(x - y)^{2} = 5 × (-3)^{2} = 5 × 9 = 45$
7. 分解因式：$ -2x^{2}y + 12xy - 18y = $
$-2y(x - 3)^{2}$
。答案
$-2y(x - 3)^{2}$
解析
首先，观察多项式 $-2x^{2}y + 12xy - 18y$，发现每一项都含有公因式 $-2y$，因此提取公因式：
$-2x^{2}y + 12xy - 18y = -2y(x^{2} - 6x + 9)$，
接下来，观察括号内的多项式 $x^{2} - 6x + 9$，这是一个完全平方多项式，它可以写成 $(x - 3)^{2}$ 的形式。
因此，原式可以进一步分解为：
$-2y(x^{2} - 6x + 9) = -2y(x - 3)^{2}$。
$-2x^{2}y + 12xy - 18y = -2y(x^{2} - 6x + 9)$，
接下来，观察括号内的多项式 $x^{2} - 6x + 9$，这是一个完全平方多项式，它可以写成 $(x - 3)^{2}$ 的形式。
因此，原式可以进一步分解为：
$-2y(x^{2} - 6x + 9) = -2y(x - 3)^{2}$。
8. 分解因式 $ (a - b)(a - 4b) + ab $的结果是
$(a - 2b)^2$
。答案
$(a - 2b)^2$
解析
首先展开并简化表达式：$(a - b)(a - 4b) + ab = a^2 - 4ab - ab + 4b^2 + ab = a^2 - 4ab + 4b^2$，
观察简化后的表达式，它是一个关于$a$和$b$的二次多项式，且$a^2 - 4ab + 4b^2$ 符合完全平方公式形式，可以将其表示为 $(a - 2b)^2$。
因此，原式可以分解为 $(a - 2b)^2$。
观察简化后的表达式，它是一个关于$a$和$b$的二次多项式，且$a^2 - 4ab + 4b^2$ 符合完全平方公式形式，可以将其表示为 $(a - 2b)^2$。
因此，原式可以分解为 $(a - 2b)^2$。
9. 分解因式：
(1) $ 169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2} $；
(2) $ 8(x^{2} - 2y^{2}) - x(7x + y) + xy $。
(1) $ 169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2} $；
(2) $ 8(x^{2} - 2y^{2}) - x(7x + y) + xy $。
答案
(1)
$\begin{aligned}&169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2} \\=&[13(a - b)]^{2}-[14(a + b)]^{2}\\=&[13(a - b)+14(a + b)][13(a - b)-14(a + b)]\\=&(13a-13b + 14a+14b)(13a-13b - 14a-14b)\\=&(27a + b)(-a - 27b)\\=&-(27a + b)(a + 27b)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&8(x^{2}-2y^{2})-x(7x + y)+xy\\=&8x^{2}-16y^{2}-7x^{2}-xy + xy\\=&(8x^{2}-7x^{2})-16y^{2}+(-xy + xy)\\=&x^{2}-16y^{2}\\=&(x + 4y)(x - 4y)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2} \\=&[13(a - b)]^{2}-[14(a + b)]^{2}\\=&[13(a - b)+14(a + b)][13(a - b)-14(a + b)]\\=&(13a-13b + 14a+14b)(13a-13b - 14a-14b)\\=&(27a + b)(-a - 27b)\\=&-(27a + b)(a + 27b)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&8(x^{2}-2y^{2})-x(7x + y)+xy\\=&8x^{2}-16y^{2}-7x^{2}-xy + xy\\=&(8x^{2}-7x^{2})-16y^{2}+(-xy + xy)\\=&x^{2}-16y^{2}\\=&(x + 4y)(x - 4y)\end{aligned}$
10. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下。
请在他们解法的启发下解答下列各题。
(1) 分解因式：$ 9x^{2} - 6xy + y^{2} - 16 $。
(2) 若 $ a $,$ b $,$ c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 三边的长。
① 若满足 $ ac - bc + a^{2} - 2ab + b^{2} = 0 $,请判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
② 若满足 $ a^{2} + b^{2} = 12a + 8b - 52 $,求 $ c $ 的取值范围。
请在他们解法的启发下解答下列各题。
(1) 分解因式：$ 9x^{2} - 6xy + y^{2} - 16 $。
(2) 若 $ a $,$ b $,$ c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 三边的长。
① 若满足 $ ac - bc + a^{2} - 2ab + b^{2} = 0 $,请判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
② 若满足 $ a^{2} + b^{2} = 12a + 8b - 52 $,求 $ c $ 的取值范围。
答案
(1) $9x^{2}-6xy+y^{2}-16$
$=(9x^{2}-6xy+y^{2})-16$
$=(3x-y)^{2}-4^{2}$
$=(3x-y+4)(3x-y-4)$
(2) ① $\triangle ABC$是等腰三角形。理由如下：
$ac - bc + a^{2}-2ab + b^{2}=0$
$=c(a - b)+(a - b)^{2}=0$
$=(a - b)(a - b + c)=0$
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边，$\therefore a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$
$\therefore a - b=0$，即$a = b$，故$\triangle ABC$是等腰三角形。
② $a^{2}+b^{2}=12a + 8b - 52$
$a^{2}-12a + b^{2}-8b + 52=0$
$(a^{2}-12a + 36)+(b^{2}-8b + 16)=0$
$(a - 6)^{2}+(b - 4)^{2}=0$
$\because (a - 6)^{2}\geq0$，$(b - 4)^{2}\geq0$
$\therefore a - 6=0$，$b - 4=0$，即$a=6$，$b=4$
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边，$\therefore |a - b| ＜ c ＜ a + b$
$\therefore |6 - 4| ＜ c ＜ 6 + 4$，即$2 ＜ c ＜ 10$
