3. 如图,点 $ C $,$ D $ 在线段 $ AB $ 上,$ AC + BD = 9 $,且 $ AD + BC = \frac{7}{5}AB $,设 $ CD = t $,求方程 $ 3x - 7(x - 1) = \frac{t}{2} - 2(x + 3) $ 的解.

$t=6$,$x=5$

设 $ AB = m $，则 $ AD + BC = AC + CD + CD + BD = AC + BD + 2CD = 9 + 2t $。
由 $ AD + BC = \frac{7}{5}AB $，得 $ 9 + 2t = \frac{7}{5}m $。
又 $ AB = AC + CD + BD = 9 + t $，即 $ m = 9 + t $。
代入得 $ 9 + 2t = \frac{7}{5}(9 + t) $，解得 $ t = 6 $。
方程为 $ 3x - 7(x - 1) = \frac{6}{2} - 2(x + 3) $，化简得 $ 3x - 7x + 7 = 3 - 2x - 6 $，
$ -4x + 7 = -2x - 3 $，$ -2x = -10 $，$ x = 5 $。
$ x = 5 $

4. 已知线段 $ AB = 10\ cm $,$ C $ 为直线 $ AB $ 上一点,且 $ AC = 2\ cm $,$ D $ 为线段 $ BC $ 的中点,求线段 $ AD $ 的长.

① 如图1,若C为线段BA延长线上一点,因为线段$AB = 10\ cm$,$AC = 2\ cm$,所以$BC=AB + AC=10 + 2=12(cm)$.因为D为线段BC的中点,所以$CD=\frac{1}{2}BC=6(cm)$,所以$AD=CD - AC=6 - 2=4(cm)$.② 如图2,若C为线段AB上一点,因为线段$AB = 10\ cm$,$AC = 2\ cm$,所以$BC=AB - AC=8(cm)$.因为D为线段BC的中点,所以$CD=\frac{1}{2}BC=4(cm)$,所以$AD=CD + AC=6(cm)$.综上所述,线段AD的长为6 cm或4 cm.
　　　　　　　　　

5. $ C $ 是线段 $ AB $ 上的三等分点,$ D $ 是线段 $ AC $ 的中点,$ E $ 是线段 $ BC $ 的中点,若 $ CE = 6 $,求线段 $ AB $,$ AD $ 的长.

① 如图1,因为C是线段AB上的三等分点,所以$AB = 3BC$.因为E是线段BC的中点,$CE = 6$,所以$BC=2CE=12$,所以$AB=3× 12=36$.因为D是线段AC的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=12$.② 如图2,因为E是线段BC的中点,$CE = 6$,所以$BC=2CE=12$,所以$AC = 6$.因为C是线段AB上的三等分点,所以$AB=3AC=18$.因为D是线段AC的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=3$.综上所述,$AB = 36$,$AD = 12$或$AB = 18$,$AD = 3$.
　　　　　　　　　ADCEB图1　　　　　　ADC图2

6. 如图,$ M $ 是线段 $ AB $ 上一定点,动点 $ C $ 在线段 $ AM $ 上,动点 $ D $ 在线段 $ BM $ 上,动点 $ C $,$ D $ 分别从点 $ M $,$ B $ 出发以 $ 1\ cm/s $,$ 2\ cm/s $ 的速度沿线段 $ AB $ 向左运动,运动方向如箭头所示.
(1)若动点 $ C $,$ D $ 运动时,总有 $ MD = 2AC $,直接填空：$ AM = $______$ AB $；
(2)在(1)的条件下,$ N $ 是直线 $ AB $ 上一点,且 $ AN - BN = MN $,求 $ \frac{MN}{AB} $ 的值.

(1)$\frac{1}{3}$
(2)当点N在线段AB上时,如图所示: 因为$AN - BN=MN$,$AN - AM=MN$,所以$AM=BN=\frac{1}{3}AB$,$MN=\frac{1}{3}AB$,即$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$.当点N在线段AB的延长线上时,如图所示: 因为$AN - BN=MN$,$AN - BN=AB$,所以$MN=AB$,即$\frac{MN}{AB}=1$.综上所述,$\frac{MN}{AB}$的值为$\frac{1}{3}$或1.