登录
7. 如图,$O$ 是直线 $AC$ 上的一点,$OB$ 是一条射线,$OD$ 平分 $\angle AOB$,$OE$ 在 $\angle BOC$ 内,且 $\angle DOE = 60^{\circ}$,$\angle BOE= \frac{1}{3}\angle EOC$.下列四个结论：① $\angle BOD = 30^{\circ}$；② 射线 $OE$ 平分 $\angle AOC$；③ 图中与 $\angle BOE$ 互余的角有 $2$ 个；④ 图中互补的角有 $6$ 对.其中结论正确的序号有(
A.①③④
B.②④
C.①②③
D.①②③④
D
)A.①③④
B.②④
C.①②③
D.①②③④
答案
D
解析
解：设$\angle BOE = x$，则$\angle EOC = 3x$，$\angle AOB = 180° - 4x$。
因为$OD$平分$\angle AOB$，所以$\angle BOD = \frac{1}{2}(180° - 4x) = 90° - 2x$。
又$\angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = 90° - 2x + x = 60°$，解得$x = 30°$。
① $\angle BOD = 90° - 2×30° = 30°$，正确；
② $\angle AOC = 180°$，$\angle AOE = \angle AOB + \angle BOE = (180° - 120°) + 30° = 90°$，$OE$平分$\angle AOC$，正确；
③ 与$\angle BOE = 30°$互余的角：$\angle AOD = 30°$，$\angle BOD = 30°$，共2个，正确；
④ 互补角对：$\angle AOD+\angle DOB$，$\angle AOE+\angle EOC$，$\angle AOB+\angle BOC$，$\angle AOD+\angle COE$，$\angle AOE+\angle BOD$，$\angle COD+\angle AOD$，共6对，正确。
答案：D
因为$OD$平分$\angle AOB$，所以$\angle BOD = \frac{1}{2}(180° - 4x) = 90° - 2x$。
又$\angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = 90° - 2x + x = 60°$，解得$x = 30°$。
① $\angle BOD = 90° - 2×30° = 30°$，正确；
② $\angle AOC = 180°$，$\angle AOE = \angle AOB + \angle BOE = (180° - 120°) + 30° = 90°$，$OE$平分$\angle AOC$，正确；
③ 与$\angle BOE = 30°$互余的角：$\angle AOD = 30°$，$\angle BOD = 30°$，共2个，正确；
④ 互补角对：$\angle AOD+\angle DOB$，$\angle AOE+\angle EOC$，$\angle AOB+\angle BOC$，$\angle AOD+\angle COE$，$\angle AOE+\angle BOD$，$\angle COD+\angle AOD$，共6对，正确。
答案：D
8. 如图,已知 $O$ 是直线 $AB$ 上一点,射线 $OC$、$OD$、$ON$ 均在直线 $AB$ 上方,若 $\angle BOD = 84^{\circ}$,$\angle COD= \frac{1}{2}\angle AOC$,$\angle AON = 5^{\circ}$,则 $\angle NOC$ 的度数是
$59^{\circ }$
.答案
$59^{\circ }$
解析
解：设$\angle AOC = x$，则$\angle COD = \frac{1}{2}x$。
因为$O$是直线$AB$上一点，所以$\angle AOC + \angle COD + \angle BOD = 180^{\circ}$。
已知$\angle BOD = 84^{\circ}$，则$x + \frac{1}{2}x + 84^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$x = 64^{\circ}$，即$\angle AOC = 64^{\circ}$。
又因为$\angle AON = 5^{\circ}$，所以$\angle NOC = \angle AOC - \angle AON = 64^{\circ} - 5^{\circ} = 59^{\circ}$。
$59^{\circ}$
因为$O$是直线$AB$上一点，所以$\angle AOC + \angle COD + \angle BOD = 180^{\circ}$。
已知$\angle BOD = 84^{\circ}$，则$x + \frac{1}{2}x + 84^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$x = 64^{\circ}$，即$\angle AOC = 64^{\circ}$。
又因为$\angle AON = 5^{\circ}$，所以$\angle NOC = \angle AOC - \angle AON = 64^{\circ} - 5^{\circ} = 59^{\circ}$。
$59^{\circ}$
9. $60^{\circ}=$
$\frac {1}{3}$
平角；$\frac{2}{3}$ 直角 $=$60
$^{\circ}$；$\frac{5}{6}$ 周角 $=$300
$^{\circ}$.答案
$\frac {1}{3}$ 60 300
10. 如图,$O$ 是直线 $AB$ 上一点,$OE$ 平分 $\angle AOB$,$\angle COD = 90^{\circ}$.则图中互余的角有
4
对,互补的角有7
对.答案
4 7
解析
解：
∵O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=90°。
∵∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°。
互余的角：∠AOC与∠COE，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠EOD与∠BOD，共4对。
互补的角：∠AOC与∠COB，∠AOE与∠BOE，∠AOE与∠COD，∠COD与∠BOE，∠AOD与∠DOB，∠COE与∠AOD，∠EOD与∠COB，共7对。
4；7
∵O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=90°。
∵∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°。
互余的角：∠AOC与∠COE，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠EOD与∠BOD，共4对。
互补的角：∠AOC与∠COB，∠AOE与∠BOE，∠AOE与∠COD，∠COD与∠BOE，∠AOD与∠DOB，∠COE与∠AOD，∠EOD与∠COB，共7对。
4；7
11. 如图,$\angle AOC= \angle$
AOD
$+\angle$COD
,$\angle BOC= \angle BOD-\angle$DOC
$=\angle AOB-\angle$AOC
.答案
AOD COD DOC AOC
12. 如图,$BC = 4\mathrm{cm}$,$BD = 7\mathrm{cm}$,且 $D$ 是 $AC$ 的中点,则 $AC = $
6 cm
.答案
6 cm
解析
$CD = BD - BC = 7 - 4 = 3\ \mathrm{cm}$，
因为$D$是$AC$的中点，所以$AC = 2CD = 2× 3 = 6\ \mathrm{cm}$。
$6\ \mathrm{cm}$
因为$D$是$AC$的中点，所以$AC = 2CD = 2× 3 = 6\ \mathrm{cm}$。
$6\ \mathrm{cm}$
13. 计算：(结果用度、分、秒表示)
(1)$30.26^{\circ}=$
(2)$18.26^{\circ}=$
(3)$36^{\circ}56^{\prime}+18^{\circ}14^{\prime}=$
(4)$108^{\circ}-56^{\circ}23^{\prime}=$
(5)$27^{\circ}17^{\prime}×5= $
(6)$15^{\circ}18^{\prime}÷6= $
(1)$30.26^{\circ}=$
$30^{\circ }15'36''$
；(2)$18.26^{\circ}=$
$18^{\circ }15'36''$
；(3)$36^{\circ}56^{\prime}+18^{\circ}14^{\prime}=$
$55^{\circ }10'$
；(4)$108^{\circ}-56^{\circ}23^{\prime}=$
$51^{\circ }37'$
；(5)$27^{\circ}17^{\prime}×5= $
$136^{\circ }25'$
；(6)$15^{\circ}18^{\prime}÷6= $
$2^{\circ }33'$
.答案
（1）$30^{\circ }15'36''$ （2）$18^{\circ }15'36''$ （3）$55^{\circ }10'$ （4）$51^{\circ }37'$ （5）$136^{\circ }25'$ （6）$2^{\circ }33'$
解析
(1) $30^{\circ}15'36''$
(2) $18^{\circ}15'36''$
(3) $55^{\circ}10'$
(4) $51^{\circ}37'$
(5) $136^{\circ}25'$
(6) $2^{\circ}33'$
14. 已知 $P$ 是射线 $AB$ 上一点,当 $\frac{PA}{PB}= 2$ 或 $\frac{PA}{PB}= \frac{1}{2}$ 时,称点 $P$ 是射线 $AB$ 的强弱点,若 $AB = 6$,则 $PA = $
2 或 4 或 12
.答案
2 或 4 或 12
解析
情况1：点P在线段AB上
设$PA=x$，则$PB=6-x$
当$\frac{PA}{PB}=2$时，$\frac{x}{6-x}=2$，解得$x=4$
当$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，$\frac{x}{6-x}=\frac{1}{2}$，解得$x=2$
情况2：点P在AB延长线上
设$PA=x$，则$PB=x-6$
当$\frac{PA}{PB}=2$时，$\frac{x}{x-6}=2$，解得$x=12$
当$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，$\frac{x}{x-6}=\frac{1}{2}$，解得$x=-6$（舍去）
$PA=2$或$4$或$12$
设$PA=x$，则$PB=6-x$
当$\frac{PA}{PB}=2$时，$\frac{x}{6-x}=2$，解得$x=4$
当$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，$\frac{x}{6-x}=\frac{1}{2}$，解得$x=2$
情况2：点P在AB延长线上
设$PA=x$，则$PB=x-6$
当$\frac{PA}{PB}=2$时，$\frac{x}{x-6}=2$，解得$x=12$
当$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，$\frac{x}{x-6}=\frac{1}{2}$，解得$x=-6$（舍去）
$PA=2$或$4$或$12$
15. 一个角与它的余角相等,则这个角是
$45^{\circ }$
,它的补角是$135^{\circ }$
.答案
$45^{\circ }$ $135^{\circ }$
解析
设这个角为$x$，则它的余角为$90^{\circ}-x$。
由题意得：$x = 90^{\circ}-x$
解得：$2x = 90^{\circ}$，$x = 45^{\circ}$
它的补角为$180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$
$45^{\circ}$ $135^{\circ}$
由题意得：$x = 90^{\circ}-x$
解得：$2x = 90^{\circ}$，$x = 45^{\circ}$
它的补角为$180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$
$45^{\circ}$ $135^{\circ}$
