【变式】如图4-6所示,在□ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F.若$\frac{BE}{BC}= \frac{2}{3}$,△ABD的面积为15,则△BEF的面积为______.

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，S_△ABD=S_△BCD=15，
∴S_□ABCD=30，S_△ABC=15。
∵AD//BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}$。
∵$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，AD=BC，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BF}{FD}=\frac{2}{3}$。
设S_△BEF=4k，
∵△BEF∽△DAF，相似比为$\frac{2}{3}$，
∴S_△DAF=9k。
∵$\frac{BF}{FD}=\frac{2}{3}$，
∴S_△ABF=$\frac{2}{3}$S_△ADF=6k。
∵S_△ABD=S_△ABF+S_△ADF=6k+9k=15k=15，
∴k=1，
∴S_△BEF=4k=4。
答案：4

例3 如图4-7所示,等腰三角形ABC的顶角∠A= 36°,BD是∠ABC的平分线,请判断D是不是线段AC的黄金分割点,并说明理由.
【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形,所以∠ABC= 72°,由BD为∠ABC的平分线可得∠ABD= 36°,所以∠A= ∠ABD,所以△ABD是等腰三角形.同理,∠DBC= 36°,∠BDC= ∠DCB= 72°,故△BDC是等腰三角形,所以AD= BD= BC,而且△ABC∽△BCD,所以$\frac{AD}{AC}= \frac{CD}{AD}$,所以D是线段AC的黄金分割点.
【解】∵AB= AC,∠A= 36°,∴∠ABC= ∠C= 72°.
∵BD平分∠ABC,∴∠1= ∠2= 36°,
∴∠2= ∠A,∠BDC= ∠C= 72°,∴AD= BD= BC.
∵∠A= ∠1,∠ABC= ∠C,∴△ABC∽△BCD,

∴$\frac{BD}{AC}= \frac{CD}{BC}$,∴$\frac{AD}{AC}= \frac{CD}{AD}$,∴D是线段AC的黄金分割点.
【反思】黄金三角形有两种：①等腰三角形,两个底角为72°,顶角为36°.这种三角形既美观又标准,这样的三角形的底长与一腰之长的比为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.②等腰三角形,两个底角为36°,顶角为108°.这样的三角形的一腰之长与底长的比为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=72°/2=36°。
∴∠2=∠A=36°，∠BDC=∠A+∠2=36°+36°=72°=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴AD=BD=BC。
∵∠A=∠1=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD。
∴AC/BC=BC/CD。
∵AD=BC，
∴AC/AD=AD/CD，
即AD²=AC·CD。
∴D是线段AC的黄金分割点。