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3.(2023广东中考)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC= 50°,则∠D= (
A.20°
B.40°
C.50°
D.80°
B
)A.20°
B.40°
C.50°
D.80°
答案
B
解析
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC=50°，∴∠ABC=90°-∠BAC=40°。
∵∠D与∠ABC所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，∴∠D=∠ABC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠BAC=50°，∴∠ABC=90°-∠BAC=40°。
∵∠D与∠ABC所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，∴∠D=∠ABC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
4.(2022郴州中考)如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOB= 62°,则∠ACB=
31
°。答案
31
解析
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
在$\odot O$中，$\angle AOB$是圆心角，$\angle ACB$是圆周角，它们所对的弧都是$\overset{\frown} {AB}$。
已知$\angle AOB = 62^{\circ}$，则$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB = 31^{\circ}$。
在$\odot O$中，$\angle AOB$是圆心角，$\angle ACB$是圆周角，它们所对的弧都是$\overset{\frown} {AB}$。
已知$\angle AOB = 62^{\circ}$，则$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB = 31^{\circ}$。
5.(2024广元中考)如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC= 128°,则∠CDE= (
A.64°
B.60°
C.54°
D.52°
A
)A.64°
B.60°
C.54°
D.52°
答案
A
解析
∵∠AOC=128°，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=64°，
∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=180°-∠ADC=180°-64°=116°。
1
6.(2024牡丹江中考)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是⊙O的直径,若∠BEC= 20°,则∠ADC= (
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
B
)A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
答案
B
解析
连接AC。
∵∠BEC=20°，∠BEC与∠BAC所对弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BAC=∠BEC=20°。
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。
在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-20°-90°=70°。
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。
∵∠BEC=20°，∠BEC与∠BAC所对弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BAC=∠BEC=20°。
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。
在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-20°-90°=70°。
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。
7.(2023江苏中考改编)如图,AD是⊙O的直径,△ABC是⊙O的内接三角形.若∠DAC= ∠ABC,AC= 4,求⊙O的直径AD的长.
答案
$4\sqrt{2}$
解析
连接CD.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）.
∵∠ABC与∠ADC都对$\overset{\frown}{AC}$，∴∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）.
∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ADC.
∴△ADC是等腰三角形，AC=CD.
∵AC=4，∴CD=4.
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）.
∵∠ABC与∠ADC都对$\overset{\frown}{AC}$，∴∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）.
∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ADC.
∴△ADC是等腰三角形，AC=CD.
∵AC=4，∴CD=4.
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.
1. 点和圆的位置关系：设$\odot O的半径为r$,点$P到圆心O的距离为d$,则有：点$P在圆外\Leftrightarrow d$
注意：点与圆的位置关系决定了点到圆心的距离$d与圆的半径r$的数量关系,反之,亦然。
2.
思考(1)这个定理的题设包含了几个条件？(2)过已知点作圆时,确定圆的两个要素是什么？(3)在分类讨论由几个点确定一个圆时,我们可以类比哪个基本事实？
＞
$r$；点$P在圆上\Leftrightarrow d$=
$r$；点$P在圆内\Leftrightarrow d$＜
$r$。注意：点与圆的位置关系决定了点到圆心的距离$d与圆的半径r$的数量关系,反之,亦然。
2.
不在同一条直线上
的三个点确定一个圆。思考(1)这个定理的题设包含了几个条件？(2)过已知点作圆时,确定圆的两个要素是什么？(3)在分类讨论由几个点确定一个圆时,我们可以类比哪个基本事实？
答案
1. $＞$；$=$；$＜$
2. 不在同一条直线上；思考(1)答：两个；(2)答：圆心和半径；(3)答：两点确定一条直线
2. 不在同一条直线上；思考(1)答：两个；(2)答：圆心和半径；(3)答：两点确定一条直线
解析
1. 根据点和圆的位置关系：
点$P$在圆外当且仅当点$P$到圆心$O$的距离$d$大于圆的半径$r$，即$d＞r$。
点$P$在圆上当且仅当点$P$到圆心$O$的距离$d$等于圆的半径$r$，即$d = r$。
点$P$在圆内当且仅当点$P$到圆心$O$的距离$d$小于圆的半径$r$，即$d＜r$。
2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
(1)这个定理的题设包含两个条件：一是三个点，二是这三个点不在同一条直线上。
(2)过已知点作圆时，确定圆的两个要素是圆心和半径。
(3)在分类讨论由几个点确定一个圆时，可以类比两点确定一条直线这个基本事实。
点$P$在圆外当且仅当点$P$到圆心$O$的距离$d$大于圆的半径$r$，即$d＞r$。
点$P$在圆上当且仅当点$P$到圆心$O$的距离$d$等于圆的半径$r$，即$d = r$。
点$P$在圆内当且仅当点$P$到圆心$O$的距离$d$小于圆的半径$r$，即$d＜r$。
2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
(1)这个定理的题设包含两个条件：一是三个点，二是这三个点不在同一条直线上。
(2)过已知点作圆时，确定圆的两个要素是圆心和半径。
(3)在分类讨论由几个点确定一个圆时，可以类比两点确定一条直线这个基本事实。
例1 $\odot O的半径为5$,圆心$O的坐标为(0,0)$,点$P的坐标为(4,2)$,则点$P与\odot O$的位置关系是(
A.点$P在\odot O$内
B.点$P在\odot O$上
C.点$P在\odot O$外
D.点$P在\odot O上或\odot O$外
名师导引 判断点与圆的位置关系,可转化为判断点到圆心的距离与圆的半径$r$的数量关系,由数量关系即可确定位置关系。
A
)A.点$P在\odot O$内
B.点$P在\odot O$上
C.点$P在\odot O$外
D.点$P在\odot O上或\odot O$外
名师导引 判断点与圆的位置关系,可转化为判断点到圆心的距离与圆的半径$r$的数量关系,由数量关系即可确定位置关系。
答案
A
解析
1. 已知圆心$O(0,0)$，点$P(4,2)$，根据两点间距离公式：
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，
计算点$P$到圆心$O$的距离：
$d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
2. 已知圆的半径$r = 5$，比较$d$与$r$的大小：
$2\sqrt{5} \approx 4.47 ＜ 5$，
由于$d ＜ r$，根据点与圆的位置关系可知，点$P$在圆内。
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，
计算点$P$到圆心$O$的距离：
$d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
2. 已知圆的半径$r = 5$，比较$d$与$r$的大小：
$2\sqrt{5} \approx 4.47 ＜ 5$，
由于$d ＜ r$，根据点与圆的位置关系可知，点$P$在圆内。
