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1. 二次函数 $ y = 2x^{2} $ 的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
解：二次函数$y = 2x^{2}$，其中$a = 2＞0$，抛物线开口向上，顶点为原点$(0,0)$，符合此特征的图象是选项A。
A
A
2. 下列抛物线中,开口方向向下且开口最大的是( )
A.$ y = -x^{2} $
B.$ y = -\frac{2}{3}x^{2} $
C.$ y = \frac{1}{3}x^{2} $
D.$ y = -\sqrt{3}x^{2} $
A.$ y = -x^{2} $
B.$ y = -\frac{2}{3}x^{2} $
C.$ y = \frac{1}{3}x^{2} $
D.$ y = -\sqrt{3}x^{2} $
答案
B
解析
抛物线开口方向由二次项系数的符号决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定。
选项A：二次项系数为$-1$，开口向下，$\vert -1\vert=1$；
选项B：二次项系数为$-\frac{2}{3}$，开口向下，$\vert -\frac{2}{3}\vert=\frac{2}{3}$；
选项C：二次项系数为$\frac{1}{3}$，开口向上，不符合；
选项D：二次项系数为$-\sqrt{3}$，开口向下，$\vert -\sqrt{3}\vert\approx1.732$。
绝对值越小，开口越大，$\frac{2}{3}＜1＜\sqrt{3}$，所以开口方向向下且开口最大的是选项B。
B
选项A：二次项系数为$-1$，开口向下，$\vert -1\vert=1$；
选项B：二次项系数为$-\frac{2}{3}$，开口向下，$\vert -\frac{2}{3}\vert=\frac{2}{3}$；
选项C：二次项系数为$\frac{1}{3}$，开口向上，不符合；
选项D：二次项系数为$-\sqrt{3}$，开口向下，$\vert -\sqrt{3}\vert\approx1.732$。
绝对值越小，开口越大，$\frac{2}{3}＜1＜\sqrt{3}$，所以开口方向向下且开口最大的是选项B。
B
3. 二次函数 $ y = ax^{2} $ 与一次函数 $ y = ax + a $ 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
解：一次函数 $y = ax + a = a(x + 1)$，与x轴交于点$(-1, 0)$。
情况1：当$a ＞ 0$时，
二次函数$y = ax^2$开口向上，顶点在原点；
一次函数$y = ax + a$过点$(-1, 0)$，斜率为正，过第一、二、三象限。
符合选项D。
情况2：当$a ＜ 0$时，
二次函数$y = ax^2$开口向下，顶点在原点；
一次函数$y = ax + a$过点$(-1, 0)$，斜率为负，过第二、三、四象限。
无符合选项。
综上，正确选项为D。
D
情况1：当$a ＞ 0$时，
二次函数$y = ax^2$开口向上，顶点在原点；
一次函数$y = ax + a$过点$(-1, 0)$，斜率为正，过第一、二、三象限。
符合选项D。
情况2：当$a ＜ 0$时，
二次函数$y = ax^2$开口向下，顶点在原点；
一次函数$y = ax + a$过点$(-1, 0)$，斜率为负，过第二、三、四象限。
无符合选项。
综上，正确选项为D。
D
4. 抛物线 $ y = ax^{2} $ 与 $ y = -ax^{2} $ 关于______轴对称. 抛物线 $ y = ax^{2} $,当 $ a ＞ 0 $ 时,开口向______,顶点是它的最______点；当 $ a ＜ 0 $ 时,开口向______,顶点是它的最______点,随着 $ |a| $ 的增大,开口越来越______.
答案
x,上,低;下,高,小
5. 在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象：
① $ y = x^{2} $；② $ y = 2x^{2} $；③ $ y = -x^{2} $；④ $ y = -2x^{2} $.
从图象对比,说出解析式中二次项系数 $ a $ 对抛物线的形状有什么影响.
-
① $ y = x^{2} $；② $ y = 2x^{2} $；③ $ y = -x^{2} $；④ $ y = -2x^{2} $.
从图象对比,说出解析式中二次项系数 $ a $ 对抛物线的形状有什么影响.
-
答案
|a|相同,抛物线的形状相同
解析
解：①②③④的函数图象如图所示（此处略去画图步骤，实际作答时需按要求画出图象）。
从图象对比可知：|a|相同，抛物线的形状相同；|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
从图象对比可知：|a|相同，抛物线的形状相同；|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
6. 已知抛物线 $ y = ax^{2} $ 经过点 $ A(-2, -8) $.
(1)求抛物线所表示的函数的解析式；
(2)判断点 $ B(-1, -4) $ 是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为$-6$的点的坐标.
(1)求抛物线所表示的函数的解析式；
(2)判断点 $ B(-1, -4) $ 是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为$-6$的点的坐标.
答案
(1)$ y=-2x^{2} $;
(2)点 B 不在此抛物线上;
(3)$ (\sqrt{3},-6) $,$ (-\sqrt{3},-6) $
