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15. 在数学研究中,观察、猜想、实验验证、得出结论,是我们常用的几何探究方式。
操作：在一张白纸上画一条直线 $ MN $,把一块直角三角板 $ ABC $ 的直角顶点 $ C $ 放在直线 $ MN $ 上。
(1)如图①,当点 $ A $,$ B $ 都在直线 $ MN $ 上方时,试判断 $ \angle ACM $ 与 $ \angle BCN $ 的度数之和是多少,并说明理由。
(2)如图②,把直角三角板绕点 $ C $ 旋转,使点 $ A $ 在直线 $ MN $ 的下方,点 $ B $ 仍在直线 $ MN $ 的上方,用测量或分析的方法完成下表,并判断 $ \angle ACM $ 与 $ \angle BCN $ 的数量关系。
结论：
(3)如图③,继续把直角三角板绕点 $ C $ 旋转,使点 $ A $ 和点 $ B $ 都在直线 $ MN $ 的下方,你发现 $ \angle ACM $ 与 $ \angle BCN $ 又有什么样的数量关系呢？
请直接写出结论：
操作：在一张白纸上画一条直线 $ MN $,把一块直角三角板 $ ABC $ 的直角顶点 $ C $ 放在直线 $ MN $ 上。
(1)如图①,当点 $ A $,$ B $ 都在直线 $ MN $ 上方时,试判断 $ \angle ACM $ 与 $ \angle BCN $ 的度数之和是多少,并说明理由。
(2)如图②,把直角三角板绕点 $ C $ 旋转,使点 $ A $ 在直线 $ MN $ 的下方,点 $ B $ 仍在直线 $ MN $ 的上方,用测量或分析的方法完成下表,并判断 $ \angle ACM $ 与 $ \angle BCN $ 的数量关系。
结论：
∠ACM + ∠BCN=90°
。(3)如图③,继续把直角三角板绕点 $ C $ 旋转,使点 $ A $ 和点 $ B $ 都在直线 $ MN $ 的下方,你发现 $ \angle ACM $ 与 $ \angle BCN $ 又有什么样的数量关系呢？
请直接写出结论：
∠ACM + ∠BCN=90°
。答案
(1) ∠ACM与∠BCN的度数之和为90°。理由：因为点C在直线MN上，所以∠MCN=180°。又因为△ABC是直角三角板，∠ACB=90°，所以∠ACM + ∠ACB + ∠BCN=180°，即∠ACM + ∠BCN=180° - ∠ACB=180° - 90°=90°。
(2)
|∠ACM的度数|∠BCN的度数|∠BCN与∠ACM的差|
|----|----|----|
|20°|70°|50°|
|40°|50°|10°|
|70°|20°|-50°|
结论：∠ACM + ∠BCN=90°。
(3) ∠ACM + ∠BCN=90°。
(2)
|∠ACM的度数|∠BCN的度数|∠BCN与∠ACM的差|
|----|----|----|
|20°|70°|50°|
|40°|50°|10°|
|70°|20°|-50°|
结论：∠ACM + ∠BCN=90°。
(3) ∠ACM + ∠BCN=90°。
解析
(1)$\angle ACM+\angle BCN=90^{\circ}$
理由：因为$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle ACM+\angle ACB+\angle BCN=180^{\circ}$，所以$\angle ACM+\angle BCN=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
(2)$\angle ACM-\angle BCN=90^{\circ}$
(3)$\angle BCN-\angle ACM=90^{\circ}$
