7. 已知线段 $ AB = 5 cm $,在直线 $ AB $ 上截取 $ BC = 2 cm $, $ D $ 是 $ AC $ 的中点,则线段 $ BD $ 的长度为()
A.$ 1.5 cm $
B.$ 3.5 cm $
C.$ 1.5 cm $或 $ 3.5 cm $
D.$ 3.5 cm $或 $ 2.5 cm $

【解析】：
本题分两种情况讨论：
1. 当点 $ C $ 在 $ B $ 的右侧时，$ AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 $ cm，$ D $ 为 $ AC $ 中点，则 $ AD = \frac{7}{2} = 3.5 $ cm。
$ BD = AB - AD = 5 - 3.5 = 1.5 $ cm。
2. 当点 $ C $ 在 $ B $ 的左侧时，$ AC = AB - BC = 5 - 2 = 3 $ cm，$ D $ 为 $ AC $ 中点，则 $ AD = \frac{3}{2} = 1.5 $ cm。
$ BD = AB - AD = 5 - 1.5 - 2（此处需要重新计算，因位置变化应修正）= 3 - (原计算应直接为) 5 - 3.5（左侧时BD应为BC - AD的绝对位置差，重新计算）更正为： 实际当$ C $在$ A $与$ B $间时，$ AC=3 $，$ D $为中点，$ AD=1.5 $，则$ BD=AB-AD-（当C在左时，BD=BC-（AB-AC的一半）直接算为） = 3.5 - 2（不适用）更正计算：
当$ C $在$ A $侧，$ AC=3 $，$ AD=1.5 $，$ BD=AB-AD=5-1.5=3.5 $？ 需明确：
$ BD = AB - AD $ 仅当D在B左侧时成立，实际当$ C $在$ A $左侧时，$ B $到$ D $需重新计算：
$ AC=3 $，$ D $为中点，$ AD=1.5 $，则$ D $到$ B $距离为$ AB - AD = 5 - 1.5 = 3.5 $（不适用，因$ C $在$ A $左侧，$ D $在$ A $右侧1.5cm，$ B $在$ A $右侧5cm，故$ BD=5-1.5=3.5 $？ 实际应为：
$ A $为原点，$ B=5 $，$ C=3 $（当$ C $在$ A $左侧时，$ C $坐标为$ -2 $？ 重新设定：
设$ A $为0，$ B $为5，$ C $在直线$ AB $上，若$ C $在$ B $右侧，$ C=7 $，$ D=3.5 $，$ BD=5-3.5=1.5 $。
若$ C $在$ A $左侧，$ C=-2 $（因$ BC=2 $，但方向相反，故$ C $坐标为$ 5-2=3 $？ 方向混淆，重新明确：
直线$ AB $上，$ AB=5 $，$ BC=2 $，则：
$ C $在$ B $右侧：$ AC=AB+BC=7 $，$ D $中点，$ AD=3.5 $，$ BD=AB-AD=1.5 $。
$ C $在$ A $左侧：此时$ AC=AB-BC=3 $（因$ B $到$ C $距离为2，方向向左，故$ C $在$ A $左侧2cm？ 重新计算：
设$ A $为0，$ B $为5，$ C $在$ A $左侧时，$ BC=2 $，则$ C $坐标为$ 5-2=3 $？ 方向错误，应明确：
直线$ AB $上，$ C $在$ B $右侧：$ C $坐标为$ 5+2=7 $。
$ C $在$ A $左侧：$ C $坐标为$ 5-2=3 $（此为$ B $左侧，非$ A $左侧）。
正确两种情况：
$ C $在$ B $右侧：$ AC=7 $，$ D=3.5 $，$ BD=1.5 $。
$ C $在$ A $与$ B $之间：$ AC=3 $，$ D=1.5 $，$ BD=AB-AD=5-1.5-（AD为AC一半，AD=1.5，D在A右侧1.5cm，B在A右侧5cm，故BD=5-1.5=3.5 $？ 实际$ BD=AB-AD=5-1.5=3.5 $（因D在A与B之间）。
故两种情况：$ BD=1.5 $或$ 3.5 $。
【答案】：A（原解析中选项对应为C，因解析最终两种可能，选项C为“1.5cm或3.5cm”）更正答案选项：
题目选项：
A. 1.5cm
B. 3.5cm
C. 1.5cm或3.5cm
D. 3.5cm或2.5cm
正确答案为C。
【答案】：C

8. 如图,点 $ B $ 在线段 $ AC $ 上, $ D $ 是 $ AC $ 的中点.若 $ AB = a $, $ BC = b $,则 $ BD = $()

A.$ \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a $
B.$ \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b $
C.$ b - \frac{1}{2}a $
D.$ a - \frac{1}{2}b $

A

由于$D$是$AC$的中点，所以$AD = DC$，
又因为$AC=AB+BC=a+b$，
所以$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{a + b}{2}$。
已知$AB = a$，
根据$BD = AD - AB$，可得$BD = \frac{a + b}{2} - a = \frac{b - a}{2} = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a$。

9. 延长线段 $ AB $ 到 $ C $,使 $ BC = \frac{1}{3}AB $, $ D $ 为 $ AC $ 的中点,且 $ DC = 6 cm $,则 $ AB $ 的长为.

9

设 $ AB = x \, cm $，则 $ BC = \frac{1}{3}x \, cm $，
$ AC = AB + BC = x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}x \, cm $，
因为 $ D $ 为 $ AC $ 的中点，所以 $ DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}x \, cm $，
已知 $ DC = 6 \, cm $，则 $ \frac{2}{3}x = 6 $，解得 $ x = 9 $，即 $ AB = 9 \, cm $。

10. 如图,已知线段 $ AB = 10 cm $,点 $ N $ 在线段 $ AB $ 上, $ NB = $

$ 2 cm $, $ M $ 是 $ AB $ 的中点,那么线段 $ MN $ 的长为.

3cm

因为M是AB的中点，AB=10cm，所以MB=AB/2=10/2=5cm。又因为NB=2cm，所以MN=MB-NB=5-2=3cm。

11. 如图,已知 $ AB = 40 $, $ C $ 是 $ AB $ 的中点, $ D $ 是 $ CB $ 上的一点, $ E $ 是 $ BD $ 的中点, $ CD = 6 $,求 $ ED $ 的长.

∵C是AB的中点，AB=40
∴CB=1/2AB=20
∵CD=6
∴BD=CB-CD=20-6=14
∵E是BD的中点
∴ED=1/2BD=7
答：ED的长为7。

12. 如图,点 $ E $ 是线段 $ AB $ 的中点, $ C $ 是线段 $ EB $ 上一点, $ AC = 6 $.
(1)若 $ F $ 为 $ BC $ 的中点,且 $ BC = 4 $,求 $ EF $ 的长;
(2)若 $ EC:CB = 1:3 $,求 $ AB $ 的长.

(1)
∵F为BC中点，BC=4，
∴CF=BF=1/2BC=2。
∵AC=6，BC=4，
∴AB=AC+BC=10。
∵E为AB中点，
∴AE=EB=1/2AB=5。
∵EB=5，BC=4，
∴EC=EB-BC=1。
∵EF=EC+CF，EC=1，CF=2，
∴EF=3。
(2) 设EC=x，
∵EC:CB=1:3，
∴CB=3x。
∴EB=EC+CB=x+3x=4x。
∵E为AB中点，
∴AB=2EB=8x。
∵AC=AB-CB=8x-3x=5x，AC=6，
∴5x=6，x=6/5。
∴AB=8x=8×6/5=48/5。

(1)
∵F为BC中点，BC=4，
∴CF=BF=1/2BC=2。
∵AC=6，BC=4，
∴AB=AC+BC=10。
∵E为AB中点，
∴AE=EB=1/2AB=5。
∵EB=5，BC=4，
∴EC=EB-BC=1。
∵EF=EC+CF，EC=1，CF=2，
∴EF=3。
(2) 设EC=x，
∵EC:CB=1:3，
∴CB=3x。
∴EB=EC+CB=x+3x=4x。
∵E为AB中点，
∴AB=2EB=8x。
∵AC=AB-CB=8x-3x=5x，AC=6，
∴5x=6，x=6/5。
∴AB=8x=8×6/5=48/5。