1. 作已知角的平分线
已知：$\angle AOB$. 求作：$\angle AOB$ 的平分线.
作法：如图所示.
(1)以点 $O$ 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 $OA$,$OB$ 于点 $M$,$N$.
(2)分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于______的长为半径作弧,两弧在 $\angle AOB$ 的______相交于点 $C$.
(3)作射线______. 射线______即为 $\angle AOB$ 的平分线.

注意：(1)不要忽视“大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长”这个条件,否则所作的两弧可能没有交点；
(2)两弧的交点也可能在 $\angle AOB$ 的外部,但这样得到的射线就不是 $\angle AOB$ 的平分线了；
(3)因为角的平分线是一条射线,因此在作法中不能简单地叙述为连接 $OC$.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离______.
符号语言：如图所示.
$\because AO$ 平分 $\angle BAC$,
$OE\perp AB$,$OD\perp AC$,
$\therefore OE = OD$.

(1)$\frac{1}{2}MN$；内部
(2)$OC$；$OC$
(3)相等

【例 1】如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,按下列步骤作图：
第一步：在 $AB$,$AC$ 上分别截取 $AD$,$AE$,使 $AD = AE$；

第二步：分别以点 $D$ 和点 $E$ 为圆心、适当长(大于 $DE$ 的一半)为半径作弧,两弧交于点 $F$；
第三步：作射线 $AF$ 交 $BC$ 于点 $M$；
第四步：过点 $M$ 作 $MN\perp AB$ 于点 $N$.
下列结论一定成立的是()
A.$CM = MN$
B.$AC = AN$
C.$\angle CAM = \angle BAM$
D.$\angle CMA = \angle NMA$

C

由作图步骤可知，$AE = AD$，$AF$是$DE$的垂直平分线，所以$AF$平分$\angle BAC$，即$\angle CAM = \angle BAM$（角平分线的性质），C选项正确；
仅根据已知条件，无法得出$CM = MN$，$AC = AN$，$\angle CMA = \angle NMA$，A、B、D选项错误。

1. 如图所示,$AB// CD$,以点 $A$ 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 $AB$,$AC$ 于点 $M$,$N$,再分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $P$,作射线 $AP$,交 $CD$ 于点 $E$. 若 $\angle C = 70^{\circ}$,则 $\angle AEC$ 的度数为()

A.$35^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

B

∵AB//CD，∴∠CAB=∠C=70°（两直线平行，内错角相等）。由作图知AP平分∠CAB，∴∠CAE=∠CAB/2=35°。在△ACE中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-70°-35°=75°（此处原解析有误，修正后）。（重新正确解析：∵AB//CD，∴∠CAB+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠C=70°，∴∠CAB=110°。AP平分∠CAB，∴∠CAE=55°。在△ACE中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-70°-55°=55°）

2. 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 2\angle B$.

(1)根据要求作图：(不写作法,保留作图痕迹)作 $\angle ACB$ 的平分线交 $AB$ 于点 $D$；作 $\angle BDC$ 的平分线 $DE$ 交 $BC$ 于点 $E$；
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形,并加以证明.

(1) （作图痕迹略）
(2) △BDE≌△CDE.
证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB=2∠B，
∴∠BCD=∠ACB/2=∠B.
∴BD=CD（等角对等边）.
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE.
在△BDE和△CDE中，
BD=CD，
∠BDE=∠CDE，
DE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SAS）.