探究点3 巧用平方差公式计算
【例4】计算：$103×97$.

$103 × 97$
$=(100 + 3)(100 - 3)$
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 100$，$b = 3$。
则$(100 + 3)(100 - 3)=100^{2}-3^{2}$
$=10000 - 9$
$=9991$

4. 用平方差公式计算：
(1)$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})$；
(2)$124×122 - 123^{2}$.

(1)
$\begin{aligned} &(x - 2y)(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2}) \\ =&[(x - 2y)(x + 2y)](x^{2} + 4y^{2}) \\ =&(x^{2}-4y^{2})(x^{2} + 4y^{2}) \\ =&x^{4}-16y^{4} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} &124×122 - 123^{2} \\ =&(123 + 1)(123 - 1)-123^{2} \\ =&(123^{2}-1)-123^{2} \\ =&123^{2}-1 - 123^{2} \\ =& - 1\end{aligned}$

1. (2025·管城区)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()
A.$(m - n)(m - n)$
B.$(m - n)(-m + n)$
C.$(m - n)(-m - n)$
D.$(m + 2)(m - 1)$

C

平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，其特点是两个因式中一项相同，另一项互为相反数。
选项A：$(m - n)(m - n)=(m - n)^2$，两项完全相同，不能用平方差公式。
选项B：$(m - n)(-m + n)=-(m - n)^2$，两项都互为相反数，不能用平方差公式。
选项C：$(m - n)(-m - n)=-(m - n)(m + n)=-(m^2 - n^2)$，符合平方差公式的特征，能用平方差公式。
选项D：$(m + 2)(m - 1)$，两项既不都相同，也不都互为相反数，不能用平方差公式。

2. 下列各式中,计算正确的是()
A.$(x + 5)(x - 5) = x^{2} - 5$
B.$(2a - 3b)(3b - 2a) = 4a^{2} - 9b^{2}$
C.$(5x - 4y)(5x + 4y) = 25x^{2} - 4y^{2}$
D.$(-x + 3)(-x - 3) = x^{2} - 9$

D

A. 根据平方差公式，$(x + 5)(x - 5)$ 应等于 $x^{2} - 25$，与给定的 $x^{2} - 5$ 不符，所以A选项错误。
B. 对于 $(2a - 3b)(3b - 2a)$，将其视为 $-(3b - 2a)(3b - 2a)$，即 $- (3b - 2a)^{2}$，它等于 $- (9b^{2} - 12ab + 4a^{2})$，与给定的 $4a^{2} - 9b^{2}$ 不符，所以B选项错误。
C. 根据平方差公式，$(5x - 4y)(5x + 4y)$ 等于 $25x^{2} - 16y^{2}$，与给定的 $25x^{2} - 4y^{2}\ (错误表达式,原式应为16y^2 才符合平方差公式的计算结果)$ 不符（题目中给出的等式右侧是错误的表达式），按照平方差公式实际计算结果应为$25x^{2} - 16y^{2}$，与选项不一致，所以C选项错误。
D. 根据平方差公式，$(-x + 3)(-x - 3)$ 等于 $x^{2} - 9$，与给定的 $x^{2} - 9$ 相符，所以D选项正确。

3. (1)$(x + 3y)(x - 3y) = $；
(2)$(2x + y)(2x - y) = $；
(3)$(3a - 2b)(3a + 2b) = $；
(4)$(-a + 2b)(-a - 2b) = $.

(1) $x^2 - 9y^2$
(2) $4x^2 - y^2$
(3) $9a^2 - 4b^2$
(4) $a^2 - 4b^2$

(1) 根据平方差公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$，将 $A = x$，$B = 3y$ 代入公式，得到 $(x + 3y)(x - 3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$。
(2) 同样利用平方差公式，将 $A = 2x$，$B = y$ 代入公式，得到 $(2x + y)(2x - y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$。
(3) 应用平方差公式，将 $A = 3a$，$B = 2b$ 代入公式，得到 $(3a - 2b)(3a + 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$。
(4) 利用平方差公式，将 $A = -a$，$B = 2b$ 代入公式，得到 $(-a + 2b)(-a - 2b) = (-a)^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$。

4. 计算：$(3x + 1)(3x - 1)(9x^{2} + 1) = $.

$81x^{4} - 1$。

首先，利用平方差公式计算前两个因式的乘积：
$(3x + 1)(3x - 1) = (3x)^{2} - 1^{2} = 9x^{2} - 1$，
接着，将上一步的结果与第三个因式相乘：
$(9x^{2} - 1)(9x^{2} + 1) = (9x^{2})^{2} - 1^{2} = 81x^{4} - 1$，
所以，原式的结果为 $81x^{4} - 1$。

5. 计算：
(1)$(a + 5b)(a - 5b)$；
(2)$(2y + x^{2})(-2y + x^{2})$.
(3)$(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)(\frac{1}{2}n + \frac{1}{3}m)$；
(4)$2(a - 3)(a + 2) - (4 + a)(a - 4)$.

(1) $(a + 5b)(a - 5b) = a^2 - (5b)^2 = a^2 - 25b^2$
(2) $(2y + x^2)(-2y + x^2) = (x^2 + 2y)(x^2 - 2y) = (x^2)^2 - (2y)^2 = x^4 - 4y^2$
(3) $(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)(\frac{1}{2}n + \frac{1}{3}m) = (\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)(\frac{1}{3}m + \frac{1}{2}n) = (\frac{1}{3}m)^2 - (\frac{1}{2}n)^2 = \frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{4}n^2$
(4) $2(a - 3)(a + 2) - (4 + a)(a - 4)$
$= 2(a^2 + 2a - 3a - 6) - [a^2 - 4^2]$
$= 2(a^2 - a - 6) - (a^2 - 16)$
$= 2a^2 - 2a - 12 - a^2 + 16$
$= a^2 - 2a + 4$

6. 巧用公式计算：
(1)$102×98$；
(2)$2023×2025 - 2024^{2}$.

(1)
解：
$102 × 98$
$=(100 + 2)(100 - 2)$
$=100^{2} - 2^{2}$
$=10000 - 4$
$= 9996$
(2)
解：
$2023 × 2025 - 2024^{2}$
$=(2024 - 1)(2024 + 1) - 2024^{2}$
$=2024^{2} - 1^{2} - 2024^{2}$
$= - 1$