1. 分式乘除的混合运算
分式乘除的混合运算,先将乘除法统一成再计算。

乘法

分式乘除的混合运算，先将乘除法统一成乘法（即把除法转化为乘以除式的倒数），再计算。

2. 分式的乘方法则
(1) 法则：分式乘方要把分子、分别；
(2) 式子表示：$(\frac{a}{b})^n= \frac{a^n}{b^n}$($n$是正整数)。

(1)分母；乘方

(1)分母；乘方

探究点 1 分式乘除的混合运算
【例 1】计算：$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}$。

$-\frac{x - 1}{x + 1}$（或填写为该式的等价形式）

首先，将除法转化为乘法，即
$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}$，
接着，对分子和分母进行因式分解，
$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$，
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，
代入上面的式子，得
$= \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}$，
然后，进行约分，
$= \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}$ （这里约去了一个$x - 1$），
$= \frac{1 - x}{x + 1}$，
最后，将$1 - x$转化为$-(x - 1)$，得
$= -\frac{x - 1}{x + 1}$。

1. 计算：
(1) $\frac{2x}{5x - 3} ÷ \frac{3}{25x^2 - 9} \cdot \frac{x}{5x + 3}$；
(2) $\frac{81 - a^2}{a^2 + 6a + 9} ÷ \frac{a - 9}{2a + 6} \cdot \frac{a + 3}{a + 9}$。

(1)$\frac{2x^2}{3}$；(2)$-2$

(1) 原式$=\frac{2x}{5x - 3} × \frac{(5x - 3)(5x + 3)}{3} × \frac{x}{5x + 3}$
$=\frac{2x \cdot (5x - 3)(5x + 3) \cdot x}{(5x - 3) \cdot 3 \cdot (5x + 3)}$
$=\frac{2x^2}{3}$
(2) 原式$=\frac{(9 - a)(9 + a)}{(a + 3)^2} × \frac{2(a + 3)}{a - 9} × \frac{a + 3}{a + 9}$
$=\frac{-(a - 9)(a + 9)}{(a + 3)^2} × \frac{2(a + 3)}{a - 9} × \frac{a + 3}{a + 9}$
$=-2$

探究点 2 分式的乘方
【例 2】(1) 化简$(-\frac{3y}{x})^2$的结果是()
A. $\frac{3y^2}{x^2}$ B. $\frac{9y^2}{x^2}$ C. $\frac{6y^2}{x^2}$ D. $-\frac{6y^2}{x^2}$
(2) 下列计算正确的是()
A. $a^3 \cdot a^2 = a^6$ B. $(\frac{b}{3a})^2 = \frac{6a^2}{b^2}$
C. $(a^2b^3)^3 = a^5b^6$ D. $(a^2)^3 = a^6$

(1) B
(2) D

(1)
根据分式乘方的运算法则，$(-\frac{3y}{x})^2=(-1)^2×(\frac{3y}{x})^2$，又因为$(\frac{3y}{x})^2=\frac{(3y)^2}{x^2}=\frac{9y^2}{x^2}$，所以$(-\frac{3y}{x})^2=\frac{9y^2}{x^2}$。
(2)
A选项，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^3\cdot a^2=a^{3 + 2}=a^5\neq a^6$；
B选项，$(\frac{b}{3a})^2=\frac{b^2}{(3a)^2}=\frac{b^2}{9a^2}\neq\frac{6a^2}{b^2}$；
C选项，根据积的乘方，$(a^2b^3)^3=(a^2)^3\cdot(b^3)^3=a^{2×3}\cdot b^{3×3}=a^6b^9\neq a^5b^6$；
D选项，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$。

分式乘方时,要先确定乘方结果的符号再进行运算；负数的偶次方为正,负数的奇次方为负。

分式乘方运算需先定符号，再分子分母分别乘方，负数偶正奇负。

分式乘方运算步骤：1. 确定结果符号，负数偶次方为正，奇次方为负；2. 分子、分母分别乘方。

2. 化简$(\frac{y^3}{x})^2$的结果是()
A. $\frac{y^6}{x^2}$ B. $\frac{y^5}{x^2}$ C. $\frac{y^5}{x}$ D. $\frac{y^6}{x}$
3. 下列计算错误的是()
A. $(-\frac{x^2}{y})^3 = \frac{x^6}{y^3} = \frac{x + 1}{y + 1}$
B. $(\frac{2b}{a^2})^2 = \frac{4b^2}{a^4}$
C. $(-\frac{2}{3a})^3 = -\frac{8}{27a^3}$
D. $(-\frac{3x}{y})^2 = \frac{9x^2}{y^2}$

2.A；
3.A；

2. $(\frac{y^3}{x})^2$
$=\frac{(y^3)^2}{x^2}$
$=\frac{y^{3 × 2}}{x^2}$
$=\frac{y^6}{x^2}$
3.对于选项A：
$(-\frac{x^2}{y})^3$
$=-(\frac{x^2}{y})^3$
$=-\frac{(x^2)^3}{y^3}$
$=-\frac{x^6}{y^3} \neq \frac{x^6}{y^3} = \frac{x + 1}{y + 1}$（该步已经出现错误，无需继续化简）
对于选项B：
$(\frac{2b}{a^2})^2$
$=\frac{(2b)^2}{(a^2)^2}$
$=\frac{4b^2}{a^4}$
对于选项C：
$(-\frac{2}{3a})^3$
$=-\frac{2^3}{(3a)^3}$
$=-\frac{8}{27a^3}$
对于选项D：
$(-\frac{3x}{y})^2$
$=\frac{(3x)^2}{y^2}$
$=\frac{9x^2}{y^2}$

探究点 3 含乘方的分式乘除混合运算
【例 3】计算：
(1) $(\frac{x^2}{-2y})^3 \cdot \frac{6xy^2}{x^4}$；
(2) $(-ab)^3 ÷ (-\frac{3a^3b}{c})$；
(3) $(-\frac{a}{b})^2 \cdot (\frac{b}{a^2})^2 ÷ (-2ab)^2$。
【方法技巧】
分式的乘除及乘方混合运算
进行分式乘除法的混合运算时,一般是从左至右依次运算,把除法转化为乘法运算。在含有乘方的混合运算中,要先算乘方,再算乘除。算乘方时,分子、分母分别作为一个整体进行运算。

(1) $-\frac{3x^3}{4y}$；
(2) $\frac{b^2c}{3}$；
(3) $\frac{1}{4a^4b^2}$。

(1)
首先计算乘方：
$\left(\frac{x^2}{-2y}\right)^3 = \frac{x^6}{(-2y)^3} = \frac{x^6}{-8y^3}$，
接着进行乘法运算：
$\frac{x^6}{-8y^3} \cdot \frac{6xy^2}{x^4} = \frac{x^6 \cdot 6xy^2}{-8y^3 \cdot x^4} = -\frac{3x^3y^2}{4y^3} \cdot \frac{1}{1（约分后）}= -\frac{3x^3}{4y}$，
(2)
首先计算乘方：
$(-ab)^3 = -a^3b^3$，
接着进行除法运算，将其转化为乘法：
$-a^3b^3 ÷ \left(-\frac{3a^3b}{c}\right) = -a^3b^3 \cdot \left(-\frac{c}{3a^3b}\right) = \frac{cb^2}{3}$，
(3)
首先计算各个乘方：
$\left(-\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$，
$\left(\frac{b}{a^2}\right)^2 = \frac{b^2}{a^4}$，
$(-2ab)^2 = 4a^2b^2$，
接着进行乘除运算：
$\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{a^4} ÷ 4a^2b^2 = \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{a^4} \cdot \frac{1}{4a^2b^2} = \frac{1}{4a^4b^2}$，