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1. 已知 $ 3ab - 4bc + 1 = 3ab - ($ ),则括号中所填入的整式应是
4bc - 1
.答案
4bc - 1
解析
根据添括号法则，括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号。原式左边为$3ab - 4bc + 1$，右边为$3ab - (\quad)$，对比可知，$-4bc + 1$变号后为$4bc - 1$，所以括号中应填$4bc - 1$。
2. 在括号里填上适当的项：
(1) $ a + 2b - c = a + ($
(2) $ a - b - c + d = a - ($
(3) $ (a + x - y)(a - x + y) = [a + ($
(1) $ a + 2b - c = a + ($
$2b - c$
)；(2) $ a - b - c + d = a - ($
$b + c - d$
)；(3) $ (a + x - y)(a - x + y) = [a + ($
$x - y$
)][$ a - ($______$x - y$
)].答案
(1)$2b - c$；(2)$b + c - d$；(3)$x - y$，$x - y$
解析
(1) 根据添括号法则，括号前是“+”，括到括号里的各项都不变号，所以$a + 2b - c = a + (2b - c)$；
(2) 括号前是“-”，括到括号里的各项都变号，$a - b - c + d = a - (b + c - d)$；
(3) 将$-x + y$变形为$-(x - y)$，所以$(a + x - y)(a - x + y) = [a + (x - y)][a - (x - y)]$。
(2) 括号前是“-”，括到括号里的各项都变号，$a - b - c + d = a - (b + c - d)$；
(3) 将$-x + y$变形为$-(x - y)$，所以$(a + x - y)(a - x + y) = [a + (x - y)][a - (x - y)]$。
3. 已知 $ a - 2b = 1 $,则 $ 3 - 2a + 4b = $
1
.答案
1
解析
由题意，已知$a - 2b = 1$，
对$3 - 2a + 4b$进行变形，得：
$3 - 2a + 4b = 3 - 2(a - 2b)$
代入$a - 2b = 1$，得：
$3 - 2 × 1 = 1$
对$3 - 2a + 4b$进行变形，得：
$3 - 2a + 4b = 3 - 2(a - 2b)$
代入$a - 2b = 1$，得：
$3 - 2 × 1 = 1$
4. 对多项式 $ 3x + 4y - 1 $ 进行添括号,正确的是(
A.$ 3x + (4y + 1) $
B.$ 3x - (4y + 1) $
C.$ 3x + 4(y - 1) $
D.$ 3x - (-4y + 1) $
D
)A.$ 3x + (4y + 1) $
B.$ 3x - (4y + 1) $
C.$ 3x + 4(y - 1) $
D.$ 3x - (-4y + 1) $
答案
D
解析
对多项式 $3x + 4y - 1$ 进行添括号，需逐一验证选项是否与原式等价：
A：$3x + (4y + 1) = 3x + 4y + 1 \neq 3x + 4y - 1$，错误；
B：$3x - (4y + 1) = 3x - 4y - 1 \neq 3x + 4y - 1$，错误；
C：$3x + 4(y - 1) = 3x + 4y - 4 \neq 3x + 4y - 1$，错误；
D：$3x - (-4y + 1) = 3x + 4y - 1$，与原式一致，正确。
5. 下列添括号正确的是(
A.$ 7m^2 - 2m + 8 = 7m^2 - (2m + 8) $
B.$ a - b + c - d = (a - d) - (b + c) $
C.$ a - 2b + 7c = a - (2b - 7c) $
D.$ 5x^2 - 6xy - 2x - 3y = - (5x^2 + 6xy - 2x) - 3y $
C
)A.$ 7m^2 - 2m + 8 = 7m^2 - (2m + 8) $
B.$ a - b + c - d = (a - d) - (b + c) $
C.$ a - 2b + 7c = a - (2b - 7c) $
D.$ 5x^2 - 6xy - 2x - 3y = - (5x^2 + 6xy - 2x) - 3y $
答案
C
解析
A. 对于 $7m^2 - 2m + 8$，若将其中的 $-2m + 8$ 括起来，应为 $7m^2 - (2m - 8)$，与选项A中的 $7m^2 - (2m + 8)$ 不符，故A错误。
B. 对于 $a - b + c - d$，若按照选项B的方式括起来，应为 $(a - d) - (b - c)$，与选项B中的 $(a - d) - (b + c)$ 不符，故B错误。
C. 对于 $a - 2b + 7c$，若将其中的 $-2b + 7c$ 括起来并保持原式的值不变，可以写为 $a - (2b - 7c)$，与选项C中的表达式一致，故C正确。
D. 对于 $5x^2 - 6xy - 2x - 3y$，若按照选项D的方式括起来，应确保括号内的符号与原式一致，但选项D的括号内第一项符号与原式不符，即应为 $- ( - 5x^2 + 6xy + 2x) - 3y$ 或类似形式，与选项D中的 $- (5x^2 + 6xy - 2x) - 3y$ 不符，故D错误。
B. 对于 $a - b + c - d$，若按照选项B的方式括起来，应为 $(a - d) - (b - c)$，与选项B中的 $(a - d) - (b + c)$ 不符，故B错误。
C. 对于 $a - 2b + 7c$，若将其中的 $-2b + 7c$ 括起来并保持原式的值不变，可以写为 $a - (2b - 7c)$，与选项C中的表达式一致，故C正确。
D. 对于 $5x^2 - 6xy - 2x - 3y$，若按照选项D的方式括起来，应确保括号内的符号与原式一致，但选项D的括号内第一项符号与原式不符，即应为 $- ( - 5x^2 + 6xy + 2x) - 3y$ 或类似形式，与选项D中的 $- (5x^2 + 6xy - 2x) - 3y$ 不符，故D错误。
6. 下列关于 $ (2a - b + 1)^2 $ 的变形错误的是(
A.$ [(2a - b) + 1]^2 $
B.$ [2a - (b + 1)]^2 $
C.$ [2a - (b - 1)]^2 $
D.$ [(2a + 1) - b]^2 $
B
)A.$ [(2a - b) + 1]^2 $
B.$ [2a - (b + 1)]^2 $
C.$ [2a - (b - 1)]^2 $
D.$ [(2a + 1) - b]^2 $
答案
B
解析
根据完全平方公式的变形规则对各选项逐一分析：
A. $[(2a - b) + 1]^2$ 与原式 $(2a - b + 1)^2$ 等价，正确；
B. $[2a - (b + 1)]^2$ 展开为 $(2a - b - 1)^2$，与原式不同，错误；
C. $[2a - (b - 1)]^2$ 展开为 $(2a - b + 1)^2$，与原式等价，正确；
D. $[(2a + 1) - b]^2$ 展开为 $(2a - b + 1)^2$，与原式等价，正确。
7. $ (a - b + c)(a - b - c) $ 的计算正确的是(
A.$ a^2 - b^2 + c^2 $
B.$ a^2 + b^2 - c^2 $
C.$ a^2 - 2ab + b^2 - c^2 $
D.$ a^2 - 2ac + c^2 - b^2 $
C
)A.$ a^2 - b^2 + c^2 $
B.$ a^2 + b^2 - c^2 $
C.$ a^2 - 2ab + b^2 - c^2 $
D.$ a^2 - 2ac + c^2 - b^2 $
答案
C
解析
原式 $(a - b + c)(a - b - c)$ 可以看作是两个二项式的乘积，其中 $(a - b)$ 是公共部分，$c$ 和 $-c$ 是相减的两部分。
根据平方差公式，即：
$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$
将 $A$ 替换为 $a - b$，$B$ 替换为 $c$，得到：
$(a - b + c)(a - b - c) = (a - b)^2 - c^2$
再根据完全平方公式展开 $(a - b)^2$，即：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将其代入上面的等式，得到：
$(a - b + c)(a - b - c) = a^2 - 2ab + b^2 - c^2$
根据平方差公式，即：
$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$
将 $A$ 替换为 $a - b$，$B$ 替换为 $c$，得到：
$(a - b + c)(a - b - c) = (a - b)^2 - c^2$
再根据完全平方公式展开 $(a - b)^2$，即：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将其代入上面的等式，得到：
$(a - b + c)(a - b - c) = a^2 - 2ab + b^2 - c^2$
8. 将多项式 $ 3x^3 - 2x^2 + 4x - 5 $ 添括号后正确的是(
A.$ 3x^3 - (2x^2 + 4x - 5) $
B.$ (3x^3 + 4x) - (2x^2 + 5) $
C.$ (3x^3 - 5) + (-2x^2 + 4) $
D.$ 2x^2 + (3x^3 + 4x - 5) $
B
)A.$ 3x^3 - (2x^2 + 4x - 5) $
B.$ (3x^3 + 4x) - (2x^2 + 5) $
C.$ (3x^3 - 5) + (-2x^2 + 4) $
D.$ 2x^2 + (3x^3 + 4x - 5) $
答案
B
解析
本题可根据添括号法则来逐一分析选项。
添括号法则为：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
选项A：
$3x^3 - (2x^2 + 4x - 5)=3x^3 - 2x^2 - 4x + 5\neq3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项A错误。
选项B：
$(3x^3 + 4x) - (2x^2 + 5)=3x^3 + 4x - 2x^2 - 5=3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项B正确。
选项C：
$(3x^3 - 5) + (-2x^2 + 4)=3x^3 - 5 - 2x^2 + 4=3x^3 - 2x^2 - 1\neq3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项C错误。
选项D：
$2x^2 + (3x^3 + 4x - 5)=2x^2 + 3x^3 + 4x - 5=3x^3 + 2x^2 + 4x - 5\neq3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项D错误。
添括号法则为：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
选项A：
$3x^3 - (2x^2 + 4x - 5)=3x^3 - 2x^2 - 4x + 5\neq3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项A错误。
选项B：
$(3x^3 + 4x) - (2x^2 + 5)=3x^3 + 4x - 2x^2 - 5=3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项B正确。
选项C：
$(3x^3 - 5) + (-2x^2 + 4)=3x^3 - 5 - 2x^2 + 4=3x^3 - 2x^2 - 1\neq3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项C错误。
选项D：
$2x^2 + (3x^3 + 4x - 5)=2x^2 + 3x^3 + 4x - 5=3x^3 + 2x^2 + 4x - 5\neq3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$，所以选项D错误。
9. 运用乘法公式计算：
(1) $ (m - 2n + 3)(m + 2n - 3) $；
(2) $ (x - y - m + n)(x - y + m - n) $.
(1) $ (m - 2n + 3)(m + 2n - 3) $；
(2) $ (x - y - m + n)(x - y + m - n) $.
答案
(1)
$\;\;\;\;(m - 2n + 3)(m + 2n - 3)$
$= [m - (2n - 3)][m + (2n - 3)]$
$=m^{2} - (2n - 3)^{2}$
$=m^{2} - (4n^{2} - 12n + 9)$
$=m^{2} - 4n^{2} + 12n - 9$
(2)
$\;\;\;\;(x - y - m + n)(x - y + m - n)$
$= [(x - y) - (m - n)][(x - y) + (m - n)]$
$=(x - y)^{2} - (m - n)^{2}$
$=x^{2} - 2xy + y^{2} - (m^{2} - 2mn + n^{2})$
$=x^{2} - 2xy + y^{2} - m^{2} + 2mn - n^{2}$
$\;\;\;\;(m - 2n + 3)(m + 2n - 3)$
$= [m - (2n - 3)][m + (2n - 3)]$
$=m^{2} - (2n - 3)^{2}$
$=m^{2} - (4n^{2} - 12n + 9)$
$=m^{2} - 4n^{2} + 12n - 9$
(2)
$\;\;\;\;(x - y - m + n)(x - y + m - n)$
$= [(x - y) - (m - n)][(x - y) + (m - n)]$
$=(x - y)^{2} - (m - n)^{2}$
$=x^{2} - 2xy + y^{2} - (m^{2} - 2mn + n^{2})$
$=x^{2} - 2xy + y^{2} - m^{2} + 2mn - n^{2}$
10. 先化简,再求值：
$ (8x^2 + 4x + 1)(-8x^2 + 4x - 1) $,其中 $ x = \frac{1}{2} $.
$ (8x^2 + 4x + 1)(-8x^2 + 4x - 1) $,其中 $ x = \frac{1}{2} $.
答案
$-5$
解析
化简过程：
原式$=(8x^2 + 4x + 1)(-8x^2 + 4x - 1)$
$=[4x + (8x^2 + 1)][4x - (8x^2 + 1)]$（分组构造平方差公式）
$=(4x)^2 - (8x^2 + 1)^2$（平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）
$=16x^2 - [(8x^2)^2 + 2\cdot8x^2\cdot1 + 1^2]$（完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$）
$=16x^2 - (64x^4 + 16x^2 + 1)$
$=16x^2 - 64x^4 - 16x^2 - 1$
$=-64x^4 - 1$
代入求值：
当$x=\frac{1}{2}$时，
原式$=-64×\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 1$
$=-64×\frac{1}{16} - 1$
$=-4 - 1$
$=-5$
原式$=(8x^2 + 4x + 1)(-8x^2 + 4x - 1)$
$=[4x + (8x^2 + 1)][4x - (8x^2 + 1)]$（分组构造平方差公式）
$=(4x)^2 - (8x^2 + 1)^2$（平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）
$=16x^2 - [(8x^2)^2 + 2\cdot8x^2\cdot1 + 1^2]$（完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$）
$=16x^2 - (64x^4 + 16x^2 + 1)$
$=16x^2 - 64x^4 - 16x^2 - 1$
$=-64x^4 - 1$
代入求值：
当$x=\frac{1}{2}$时，
原式$=-64×\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 1$
$=-64×\frac{1}{16} - 1$
$=-4 - 1$
$=-5$
11. 我们知道完全平方公式：$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $,$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $,两式相减,得 $ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab $. 因此,两个数的积可以化成两个数的和与差的平方差来计算,即：$ ab = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2] $. 请利用这一性质完成下面的问题.
已知 $ x $,$ y $,$ z $ 满足 $ x = 10 - y $,$ xy - 25 - 3z^2 = 0 $,求证：$ x = y $.
已知 $ x $,$ y $,$ z $ 满足 $ x = 10 - y $,$ xy - 25 - 3z^2 = 0 $,求证：$ x = y $.
答案
证明：
∵ $ x = 10 - y $，
∴ $ x + y = 10 $。
由题中性质 $ ab = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2] $，令 $ a = x $，$ b = y $，得：
$ xy = \frac{1}{4}[(x + y)^2 - (x - y)^2] $。
将 $ x + y = 10 $ 代入上式，得：
$ xy = \frac{1}{4}[10^2 - (x - y)^2] = \frac{1}{4}[100 - (x - y)^2] $。
又∵ $ xy - 25 - 3z^2 = 0 $，
∴ $ xy = 25 + 3z^2 $。
联立得：$ 25 + 3z^2 = \frac{1}{4}[100 - (x - y)^2] $。
两边同乘4：$ 100 + 12z^2 = 100 - (x - y)^2 $，
化简得：$ (x - y)^2 + 12z^2 = 0 $。
∵ $ (x - y)^2 \geq 0 $，$ z^2 \geq 0 $，
∴ $ (x - y)^2 = 0 $ 且 $ z^2 = 0 $，
即 $ x - y = 0 $，故 $ x = y $。
综上，$ x = y $。
∵ $ x = 10 - y $，
∴ $ x + y = 10 $。
由题中性质 $ ab = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2] $，令 $ a = x $，$ b = y $，得：
$ xy = \frac{1}{4}[(x + y)^2 - (x - y)^2] $。
将 $ x + y = 10 $ 代入上式，得：
$ xy = \frac{1}{4}[10^2 - (x - y)^2] = \frac{1}{4}[100 - (x - y)^2] $。
又∵ $ xy - 25 - 3z^2 = 0 $，
∴ $ xy = 25 + 3z^2 $。
联立得：$ 25 + 3z^2 = \frac{1}{4}[100 - (x - y)^2] $。
两边同乘4：$ 100 + 12z^2 = 100 - (x - y)^2 $，
化简得：$ (x - y)^2 + 12z^2 = 0 $。
∵ $ (x - y)^2 \geq 0 $，$ z^2 \geq 0 $，
∴ $ (x - y)^2 = 0 $ 且 $ z^2 = 0 $，
即 $ x - y = 0 $，故 $ x = y $。
综上，$ x = y $。
