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1. 用“四舍五入”法写出各题中商的近似值。
|算式|保留整数|保留一位小数|保留两位小数|保留三位小数|
|$40÷7$|
|$7.8÷0.33$|
|算式|保留整数|保留一位小数|保留两位小数|保留三位小数|
|$40÷7$|
6
|5.7
|5.71
|5.714
||$7.8÷0.33$|
24
|23.6
|23.64
|23.636
|答案
|算式|保留整数|保留一位小数|保留两位小数|保留三位小数|
|$40÷7$|6|5.7|5.71|5.714|
|$7.8÷0.33$|24|23.6|23.64|23.636|
|$40÷7$|6|5.7|5.71|5.714|
|$7.8÷0.33$|24|23.6|23.64|23.636|
解析
1. $40÷7\approx5.714285...$
保留整数：6
保留一位小数：5.7
保留两位小数：5.71
保留三位小数：5.714
2. $7.8÷0.33\approx23.636363...$
保留整数：24
保留一位小数：23.6
保留两位小数：23.64
保留三位小数：23.636
保留整数：6
保留一位小数：5.7
保留两位小数：5.71
保留三位小数：5.714
2. $7.8÷0.33\approx23.636363...$
保留整数：24
保留一位小数：23.6
保留两位小数：23.64
保留三位小数：23.636
2. 用竖式计算。
(1) 得数精确到十分位。
$49.6÷3.4$
(2) 得数精确到百分位。
$25÷24$
(1) 得数精确到十分位。
$49.6÷3.4$
(2) 得数精确到百分位。
$25÷24$
答案
(1)
首先将$49.6÷3.4$转化为$496÷34$（根据商不变性质，被除数和除数同时扩大$10$倍）：
```
14.588...
34)496
34
---
156
136
---
200
170
---
300
272
---
28
```
要精确到十分位，则看百分位上的数字，百分位是$8$，$8\gt5$，向十分位进$1$，$14.5 + 0.1=14.6$。
(2)
$25÷24$：
```
1.0416...
24)25
24
---
100
96
---
40
24
---
16
```
要精确到百分位，看千分位上的数字，千分位是$1$，$1\lt5$，舍去千分位及后面的数，所以结果是$1.04$。
综上，(1)的结果是$14.6$；(2)的结果是$1.04$。
首先将$49.6÷3.4$转化为$496÷34$（根据商不变性质，被除数和除数同时扩大$10$倍）：
```
14.588...
34)496
34
---
156
136
---
200
170
---
300
272
---
28
```
要精确到十分位，则看百分位上的数字，百分位是$8$，$8\gt5$，向十分位进$1$，$14.5 + 0.1=14.6$。
(2)
$25÷24$：
```
1.0416...
24)25
24
---
100
96
---
40
24
---
16
```
要精确到百分位，看千分位上的数字，千分位是$1$，$1\lt5$，舍去千分位及后面的数，所以结果是$1.04$。
综上，(1)的结果是$14.6$；(2)的结果是$1.04$。
(1) 下列数中,有限小数有(
① $13.\dot{4}2\dot{7}$ ② $4.292929$
③ $0.010010001…$ ④ $8.51$
⑤ $1.919191…$ ⑥ $0.4848$
④②⑥
),无限小数有(①③⑤
),循环小数有(①⑤
)。(填序号)① $13.\dot{4}2\dot{7}$ ② $4.292929$
③ $0.010010001…$ ④ $8.51$
⑤ $1.919191…$ ⑥ $0.4848$
答案
有限小数：④②⑥，无限小数：①③⑤，循环小数：①⑤。
解析
有限小数：小数部分位数有限，如④$8.51$，②$4.292929$， ⑥$0.4848$；
无限小数：小数部分位数无限，包括①$13.\dot{4}2\dot{7}$，③$0.010010001\ldots$， ⑤$1.919191\ldots$；
循环小数：小数部分有重复模式，①$13.\dot{4}2\dot{7}$，⑤$1.919191\ldots$。
无限小数：小数部分位数无限，包括①$13.\dot{4}2\dot{7}$，③$0.010010001\ldots$， ⑤$1.919191\ldots$；
循环小数：小数部分有重复模式，①$13.\dot{4}2\dot{7}$，⑤$1.919191\ldots$。
(2) $5.4747…$的循环节是(
47
),可用简便方法写作($5.\dot{4}\dot{7}$
)；$0.9316316…$的循环节是(316
),可用简便方法写作($0.9\dot{3}1\dot{6}$
)。答案
47，$5.\dot{4}\dot{7}$；316，$0.9\dot{3}1\dot{6}$
解析
循环节是指一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的一个或几个数字。
对于$5.4747…$，小数部分“47”依次不断重复出现，所以循环节是47，简便写法是在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点，即$5.\dot{4}\dot{7}$；
对于$0.9316316…$，小数部分从第二位起“316”依次不断重复出现，所以循环节是316，简便写法是在“3”和“6”上面各记一个小圆点，即$0.9\dot{3}1\dot{6}$。
对于$5.4747…$，小数部分“47”依次不断重复出现，所以循环节是47，简便写法是在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点，即$5.\dot{4}\dot{7}$；
对于$0.9316316…$，小数部分从第二位起“316”依次不断重复出现，所以循环节是316，简便写法是在“3”和“6”上面各记一个小圆点，即$0.9\dot{3}1\dot{6}$。
(3) 旗鱼是吉尼斯世界纪录中速度最快的海洋动物,最快速度可达每小时90千米。旗鱼每分钟游(
1.50
)千米。(得数保留两位小数)答案
1.50
解析
题目要求将旗鱼的速度从每小时90千米转换为每分钟游多少千米，得数保留两位小数。
已知1小时=60分钟，所以将每小时游的距离除以60分钟，得到每分钟游的距离，即$90÷60=1.5（千米/分钟）$（此步实际为精确值，但题目要求保留两位小数，可根据要求进行四舍五入），因为1.50等于1.5，所以保留两位小数，结果为1.50千米。
已知1小时=60分钟，所以将每小时游的距离除以60分钟，得到每分钟游的距离，即$90÷60=1.5（千米/分钟）$（此步实际为精确值，但题目要求保留两位小数，可根据要求进行四舍五入），因为1.50等于1.5，所以保留两位小数，结果为1.50千米。
4. 把$0.\dot{2}\dot{7}$、$0.2\dot{7}$、$0.27$、$0.2727$按从大到小的顺序排列。
$0.2\dot{7} ＞ 0.\dot{2}\dot{7} ＞ 0.2727 ＞ 0.27$
答案
$0.2\dot{7} ＞ 0.\dot{2}\dot{7} ＞ 0.2727 ＞ 0.27$
5. 右图表示的是一道小数除法计算过程,已知这题的商等于7.145,那么竖式中的$A= $(
5
)。答案
1. 首先明确小数除法的计算规则：
已知商是$7.145$，根据小数除法竖式计算，我们从商的每一位与除数的关系来分析。
商的百分位是$4$，根据除法竖式中“$5□ - □□=6□$”（这里是指百分位计算后的余数），商的千分位是$5$。
因为在除法中，余数$=$被除数$-$除数$×$商，设除数为$x$。
从千分位的计算来看，$A$是千分位计算后的余数，根据除法计算：$A = 60-5x$（这里$6□$表示$60$，因为是小数除法，当除到千分位时，余数是$60$个千分之一）。
又因为商的千分位是$5$，根据“$5× x$的结果是一个两位数”，且$60 - 5x\lt x$（余数小于除数）。
假设$x = 12$，$5×12 = 60$，$60-60 = 0$不符合；假设$x = 11$，$5×11 = 55$，$60 - 55=5$。
2. 然后验证除数：
商的十分位是$1$，$1×11 = 11$，$1□$（这里$1□$表示$11$）；商的百分位是$4$，$4×11 = 44$，$5□-44 = 6□$（$55 - 44=11$不符合，$50-44 = 6$不符合，$59 - 44 = 15$不符合，$54-44 = 10$不符合，$58-44 = 14$不符合，$57 - 44=13$不符合，$56-44 = 12$不符合）；假设$x = 10$，$5×10 = 50$，$60 - 50 = 10$（余数等于除数不符合余数小于除数）。
所以$A = 5$。
已知商是$7.145$，根据小数除法竖式计算，我们从商的每一位与除数的关系来分析。
商的百分位是$4$，根据除法竖式中“$5□ - □□=6□$”（这里是指百分位计算后的余数），商的千分位是$5$。
因为在除法中，余数$=$被除数$-$除数$×$商，设除数为$x$。
从千分位的计算来看，$A$是千分位计算后的余数，根据除法计算：$A = 60-5x$（这里$6□$表示$60$，因为是小数除法，当除到千分位时，余数是$60$个千分之一）。
又因为商的千分位是$5$，根据“$5× x$的结果是一个两位数”，且$60 - 5x\lt x$（余数小于除数）。
假设$x = 12$，$5×12 = 60$，$60-60 = 0$不符合；假设$x = 11$，$5×11 = 55$，$60 - 55=5$。
2. 然后验证除数：
商的十分位是$1$，$1×11 = 11$，$1□$（这里$1□$表示$11$）；商的百分位是$4$，$4×11 = 44$，$5□-44 = 6□$（$55 - 44=11$不符合，$50-44 = 6$不符合，$59 - 44 = 15$不符合，$54-44 = 10$不符合，$58-44 = 14$不符合，$57 - 44=13$不符合，$56-44 = 12$不符合）；假设$x = 10$，$5×10 = 50$，$60 - 50 = 10$（余数等于除数不符合余数小于除数）。
所以$A = 5$。
解析
设除数为$10a + b$（$a$、$b$为整数，$1 \leq a \leq 9$，$0 \leq b \leq 9$）。
商为$7.145$，由竖式知商的整数部分为$7$，则$7 × (10a + b)$为竖式中第一次相减的被减数（两位数），设被除数整数部分为$N$，则$N - 7(10a + b) = 10$（竖式中余数为$1□$的十位数$1$），即$N = 7(10a + b) + 10$。
商的十分位为$1$，此时余数$1□$（设为$10 + c$，$c$为个位数），则$10 + c - 1 × (10a + b) = 5$（下一个余数为$5□$的十位数$5$），即$10 + c - (10a + b) = 5$，得$(10a + b) = 5 + c$，因$10a + b \geq 10$，所以$c \geq 5$，$10a + b$为两位数且个位$= c$。
商的百分位为$4$，此时余数$5□$（设为$50 + d$，$d$为个位数），则$50 + d - 4 × (10a + b) = 6$（下一个余数为$6□$的十位数$6$），即$50 + d - 4(10a + b) = 6$，得$4(10a + b) = 44 + d$，$d = 4(10a + b) - 44$，$0 \leq d \leq 9$，所以$44 \leq 4(10a + b) \leq 53$，$11 \leq 10a + b \leq 13.25$，故$10a + b = 11$或$12$或$13$。
商的千分位为$5$，此时余数$6□$（设为$60 + e$，$e$为个位数），则$60 + e - 5 × (10a + b) = A$（最终余数$A$），且$A ＜ 10a + b$。
分别检验$10a + b = 11$：
$4 × 11 = 44$，则$d = 44 + d - 44 = d = 0$（由$4(10a + b)=44 + d$），$50 + d = 50$，$50 - 44 = 6$，符合余数$6$；
由$(10a + b)=5 + c$，$11 = 5 + c$，$c = 6$，则$10 + c = 16$，$16 - 11 = 5$，符合余数$5$；
此时$60 + e - 5 × 11 = A$，即$60 + e - 55 = A$，$A = 5 + e$，因$e$为$6□$的个位数，是前一步$5□ = 50 + d = 50$，落下被除数十分位数字（商的百分位计算时补的$0$），此时$50$除以$11$商$4$余$50 - 44 = 6$，再补被除数百分位数字（商的千分位计算时补的$0$）得$60 + e$，商$5$，$5 × 11 = 55$，$60 + e - 55 = 5 + e$，因$e$为$0$（被除数小数部分第三位为$0$，商是$7.145$，有限小数，除尽或余$A$），所以$A = 5 + 0 = 5$，且$5 ＜ 11$，符合。
经检验$10a + b = 12$、$13$时不符合竖式余数关系，故除数为$11$，$A = 5$。
5
商为$7.145$，由竖式知商的整数部分为$7$，则$7 × (10a + b)$为竖式中第一次相减的被减数（两位数），设被除数整数部分为$N$，则$N - 7(10a + b) = 10$（竖式中余数为$1□$的十位数$1$），即$N = 7(10a + b) + 10$。
商的十分位为$1$，此时余数$1□$（设为$10 + c$，$c$为个位数），则$10 + c - 1 × (10a + b) = 5$（下一个余数为$5□$的十位数$5$），即$10 + c - (10a + b) = 5$，得$(10a + b) = 5 + c$，因$10a + b \geq 10$，所以$c \geq 5$，$10a + b$为两位数且个位$= c$。
商的百分位为$4$，此时余数$5□$（设为$50 + d$，$d$为个位数），则$50 + d - 4 × (10a + b) = 6$（下一个余数为$6□$的十位数$6$），即$50 + d - 4(10a + b) = 6$，得$4(10a + b) = 44 + d$，$d = 4(10a + b) - 44$，$0 \leq d \leq 9$，所以$44 \leq 4(10a + b) \leq 53$，$11 \leq 10a + b \leq 13.25$，故$10a + b = 11$或$12$或$13$。
商的千分位为$5$，此时余数$6□$（设为$60 + e$，$e$为个位数），则$60 + e - 5 × (10a + b) = A$（最终余数$A$），且$A ＜ 10a + b$。
分别检验$10a + b = 11$：
$4 × 11 = 44$，则$d = 44 + d - 44 = d = 0$（由$4(10a + b)=44 + d$），$50 + d = 50$，$50 - 44 = 6$，符合余数$6$；
由$(10a + b)=5 + c$，$11 = 5 + c$，$c = 6$，则$10 + c = 16$，$16 - 11 = 5$，符合余数$5$；
此时$60 + e - 5 × 11 = A$，即$60 + e - 55 = A$，$A = 5 + e$，因$e$为$6□$的个位数，是前一步$5□ = 50 + d = 50$，落下被除数十分位数字（商的百分位计算时补的$0$），此时$50$除以$11$商$4$余$50 - 44 = 6$，再补被除数百分位数字（商的千分位计算时补的$0$）得$60 + e$，商$5$，$5 × 11 = 55$，$60 + e - 55 = 5 + e$，因$e$为$0$（被除数小数部分第三位为$0$，商是$7.145$，有限小数，除尽或余$A$），所以$A = 5 + 0 = 5$，且$5 ＜ 11$，符合。
经检验$10a + b = 12$、$13$时不符合竖式余数关系，故除数为$11$，$A = 5$。
5
6. 王叔叔进了一箱40千克的苹果,批发价是212元,整理完后发现烂了3千克。为了保证盈利不低于20元,这箱苹果平均每千克至少应该卖多少元？(得数保留一位小数)
答案
1. 总成本：212元
2. 目标总售价：212 + 20 = 232元
3. 可售苹果重量：40 - 3 = 37千克
4. 单价：232 ÷ 37 ≈ 6.27元
5. 保留一位小数：6.3元
答：这箱苹果平均每千克至少应该卖6.3元。
2. 目标总售价：212 + 20 = 232元
3. 可售苹果重量：40 - 3 = 37千克
4. 单价：232 ÷ 37 ≈ 6.27元
5. 保留一位小数：6.3元
答：这箱苹果平均每千克至少应该卖6.3元。
7. 如果10.01除以一个一位小数,商保留一位小数约是2.1,这个一位小数是多少？
答案
4.7 或 4.8
解析
设这个一位小数为$ x $，商保留一位小数约是$ 2.1 $，则商的取值范围是$ 2.05 \leq 商 ＜ 2.15 $。
由$ 10.01 ÷ x = 商 $，得$ x = 10.01 ÷ 商 $。
当商$ = 2.05 $时，$ x = 10.01 ÷ 2.05 \approx 4.882 $；当商$ = 2.15 $时，$ x = 10.01 ÷ 2.15 \approx 4.655 $。
故$ x $的范围是$ 4.655 ＜ x ＜ 4.882 $，一位小数可能为$ 4.7 $或$ 4.8 $。
验证：
$ x = 4.7 $时，$ 10.01 ÷ 4.7 \approx 2.1297 $，保留一位小数是$ 2.1 $，符合。
$ x = 4.8 $时，$ 10.01 ÷ 4.8 \approx 2.0854 $，保留一位小数是$ 2.1 $，符合。
由$ 10.01 ÷ x = 商 $，得$ x = 10.01 ÷ 商 $。
当商$ = 2.05 $时，$ x = 10.01 ÷ 2.05 \approx 4.882 $；当商$ = 2.15 $时，$ x = 10.01 ÷ 2.15 \approx 4.655 $。
故$ x $的范围是$ 4.655 ＜ x ＜ 4.882 $，一位小数可能为$ 4.7 $或$ 4.8 $。
验证：
$ x = 4.7 $时，$ 10.01 ÷ 4.7 \approx 2.1297 $，保留一位小数是$ 2.1 $，符合。
$ x = 4.8 $时，$ 10.01 ÷ 4.8 \approx 2.0854 $，保留一位小数是$ 2.1 $，符合。
