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6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,分别以 $ A $,$ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AC $ 的长为半径作弧,两弧分别相交于 $ M $,$ N $ 两点,作直线 $ MN $,分别交线段 $ BC $,$ AC $ 于点 $ D $,$ E $,连接 $ AD $. 若 $ AE = 2 cm $,$ \triangle ABC $ 的周长为 $ 15 cm $,则 $ \triangle ABD $ 的周长为(
A.$ 11 cm $
B.$ 13 cm $
C.$ 15 cm $
D.$ 17 cm $
A
)A.$ 11 cm $
B.$ 13 cm $
C.$ 15 cm $
D.$ 17 cm $
答案
A
解析
根据作图过程可知，$MN$是线段$AC$的垂直平分线，
根据垂直平分线性质可得$AE = CE = 2cm$，$AD = CD$，
所以$AC=AE+CE = 4cm$。
已知$\triangle ABC$周长为$15cm$，即$AB + BC+AC = 15cm$，
那么$AB + BC=15 - AC=15 - 4 = 11cm$。
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$，因为$AD = CD$，所以$AB + BD + AD=AB + BD + CD=AB + BC = 11cm$。
根据垂直平分线性质可得$AE = CE = 2cm$，$AD = CD$，
所以$AC=AE+CE = 4cm$。
已知$\triangle ABC$周长为$15cm$，即$AB + BC+AC = 15cm$，
那么$AB + BC=15 - AC=15 - 4 = 11cm$。
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$，因为$AD = CD$，所以$AB + BD + AD=AB + BD + CD=AB + BC = 11cm$。
7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在 $ BC $ 边上,将点 $ D $ 分别以 $ AB $,$ AC $ 所在直线为对称轴,画出对称点 $ E $,$ F $,并连接 $ AE $,$ AF $. 根据图中标示的角度,可得 $ \angle EAF $ 的度数为(
A.$ 108^{\circ} $
B.$ 115^{\circ} $
C.$ 122^{\circ} $
D.$ 130^{\circ} $
D
)A.$ 108^{\circ} $
B.$ 115^{\circ} $
C.$ 122^{\circ} $
D.$ 130^{\circ} $
答案
D
解析
在△ABC中，由图中标注∠B=61°，∠C=54°，根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-61°-54°=65°。
∵E是D关于AB的对称点，∴∠EAB=∠DAB；
∵F是D关于AC的对称点，∴∠FAC=∠DAC。
设∠DAB=x，∠DAC=y，则∠BAC=x+y=65°，∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠FAC=x+(x+y)+y=2(x+y)=2∠BAC=2×65°=130°。
∵E是D关于AB的对称点，∴∠EAB=∠DAB；
∵F是D关于AC的对称点，∴∠FAC=∠DAC。
设∠DAB=x，∠DAC=y，则∠BAC=x+y=65°，∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠FAC=x+(x+y)+y=2(x+y)=2∠BAC=2×65°=130°。
8. 如图,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ CD $ 是 $ AB $ 边上的高,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $,交 $ CD $ 于点 $ E $,$ BC = 10 $,$ DE = 3 $,则 $ \triangle BCE $ 的面积等于(
A.$ 9 $
B.$ 15 $
C.$ 21 $
D.$ 30 $
B
)A.$ 9 $
B.$ 15 $
C.$ 21 $
D.$ 30 $
答案
B
解析
作$EF\perp BC$于点$F$，
由于$BE$是$\angle ABC$的平分线，且$DE \perp AB$，$EF \perp BC$，
根据角平分线的性质（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），可以得到：
$DE = EF = 3$，
已知$BC=10$，
所以$\triangle BCE$的面积为：
$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2} × BC × EF = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15$。
由于$BE$是$\angle ABC$的平分线，且$DE \perp AB$，$EF \perp BC$，
根据角平分线的性质（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），可以得到：
$DE = EF = 3$，
已知$BC=10$，
所以$\triangle BCE$的面积为：
$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2} × BC × EF = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15$。
9. 在如图所示的 $ 2 × 4 $ 的正方形网格中,$ \triangle ABC $ 的顶点都在正方形网格的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与 $ \triangle ABC $ 成轴对称的格点三角形一共能画出(
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
B
)A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
答案
B
解析
在2×4的正方形网格中，要找出与△ABC成轴对称的格点三角形，需根据轴对称性质，确定可能的对称轴并判断对称后的三角形顶点是否为格点。
1. 竖直对称轴：如直线x=1.5（2列与3列中间），对称后得到一个格点三角形。
2. 斜向对称轴1：如过特定格点的45°直线，对称后得到第二个格点三角形。
3. 斜向对称轴2：如另一方向的45°直线，对称后得到第三个格点三角形。
经分析，共能画出3个符合条件的格点三角形。
1. 竖直对称轴：如直线x=1.5（2列与3列中间），对称后得到一个格点三角形。
2. 斜向对称轴1：如过特定格点的45°直线，对称后得到第二个格点三角形。
3. 斜向对称轴2：如另一方向的45°直线，对称后得到第三个格点三角形。
经分析，共能画出3个符合条件的格点三角形。
10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 是 $ BC $ 上的点,$ AD = BD $,将 $ \triangle ABD $ 沿 $ AD $ 翻折得到 $ \triangle AED $. 若 $ \angle B = 40^{\circ} $,则 $ \angle CDE $ 等于(
A.$ 20^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 35^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
A
)A.$ 20^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 35^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
答案
A
解析
∵AD=BD，∠B=40°，∴∠BAD=∠B=40°（等边对等角）。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-40°-40°=100°。
由翻折性质得：△AED≌△ABD，∴∠ADE=∠ADB=100°。
∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-40°-40°=100°。
由翻折性质得：△AED≌△ABD，∴∠ADE=∠ADB=100°。
∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°。
