7. 如图,四边形 ABCD 是正方形,G 为边 CD 上一点,连接 AG 并延长,交 BC 的延长线于点 F,连接 BD 交 AF 于点 E,连接 EC.求证:
(1)∠DAE= ∠DCE；
(2)△EGC∽△ECF.

(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，BD平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°。在△ADE和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\ \angle ADE=\angle CDE\\ DE=DE\end{array}\right.$，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DAE=∠DCE。
(2) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BF，∴∠DAE=∠F(两直线平行，同位角相等)。由(1)知∠DAE=∠DCE，∴∠DCE=∠F，即∠ECG=∠EFC。在△EGC和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ECG=\angle EFC\\ \angle GEC=\angle FEC\end{array}\right.$，∴△EGC∽△ECF。

8. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB= AC,D 是边 BC 上的动点,连接 AD,将△ADC 绕点 A 旋转至△AEB,使点 C 与点 B 重合,连接 DE 交 AB 于点 F.作 EG//BC 交 AB 于点 G,连接 CG,交 AD 于点 H.求证:
(1)∠1= ∠2；
(2)△AGH∽△AFD.

(1)∵△ADC绕点A旋转至△AEB，∴△ADC≌△AEB，∴AD=AE，∠BAE=∠CAD．
∵∠DAE=∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)/2．
在△ADE中，AD=AE，∴∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-∠BAC)/2=∠ABC．
∵EG//BC，∴∠AGE=∠ABC（两直线平行，同位角相等）．
∴∠ADE=∠AGE，即∠1=∠2．
(2)∵EG//BC，∴∠AEG=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∠AGE=∠ABC，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE．
∵△ADC≌△AEB，∴AE=AD，∴AG=AD．
在△AGH和△AFD中，
∠GAH=∠FAD（公共角），
∠AGH=∠AFD（∵∠AGH=180°-∠GAH-∠AHG，∠AFD=180°-∠FAD-∠ADF，∠AHG=∠ADF=∠ADE=∠ABC），
∴△AGH∽△AFD（AA）．

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB= 90°,AF 为边 BC 上的中线,DE 经过△ABC 的重心 G,且∠ADE= ∠C.
(1)线段 AG 是△ADE 的高线还是中线？请说明理由；
(2)若 AB= 6,AC= 8,求 AD 的长.

(1) AG是△ADE的高线。理由：∵∠CAB=90°，∴∠C+∠B=90°。∵∠ADE=∠C，∴∠ADE+∠B=90°。∵AF是Rt△ABC斜边BC的中线，∴AF=BF，∴∠B=∠BAF。∴∠ADE+∠BAF=90°，即∠ADG+∠DAG=90°，∴∠AGD=90°，∴AG⊥DE，故AG是△ADE的高线。
(2) 在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠CAB=90°，∴BC=√(AB²+AC²)=10。∵AF是斜边中线，∴AF=BC/2=5。∵G是重心，∴AG=2/3 AF=10/3。
∵∠DAE=∠CAB=90°，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB（AA），∴AD/AC=AE/AB，即AD/8=AE/6，∴AE=3/4 AD。
设AD=x，则AE=3/4 x。以A为原点，AB为y轴，AC为x轴建立坐标系，D(0,x)，E(3/4 x,0)，重心G(8/3,2)。DE方程：y=(-4x/(3x))t + x = (-4/3)t + x（t为变量）。将G(8/3,2)代入得2=(-4/3)(8/3)+x，解得x=50/9。
∴AD=50/9。