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1. 在式子$-\frac {4}{5}ab,-πa^{2},0,x^{2}-4x+4,\frac {1}{x}$中,单项式的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
根据单项式的定义，表示数或字母的乘积的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。
$-\frac{4}{5}ab$是数与字母的乘积，是单项式；
$-πa^{2}$是数与字母的乘积，是单项式；
$0$是单独的一个数，是单项式；
$x^{2}-4x + 4$是多项式，不是单项式；
$\frac{1}{x}$分母含有字母，是分式，不是单项式。
所以单项式有$-\frac{4}{5}ab,-πa^{2},0$，共$3$个。
$-\frac{4}{5}ab$是数与字母的乘积，是单项式；
$-πa^{2}$是数与字母的乘积，是单项式；
$0$是单独的一个数，是单项式；
$x^{2}-4x + 4$是多项式，不是单项式；
$\frac{1}{x}$分母含有字母，是分式，不是单项式。
所以单项式有$-\frac{4}{5}ab,-πa^{2},0$，共$3$个。
2. 已知$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于x,y的五次单项式,则$m$的值是(
A.3
B.$-3$
C.3或$-3$
D.以上都不对
B
)A.3
B.$-3$
C.3或$-3$
D.以上都不对
答案
B
解析
要使$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，需满足以下条件：
1. 单项式中所有变量的指数之和为5，即$1 + (|m| + 1) = 5$，解得$|m| = 3$，所以$m = 3$或$m = -3$。
2. 单项式的系数$m-3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
结合以上两个条件，$m$只能取$-3$。
1. 单项式中所有变量的指数之和为5，即$1 + (|m| + 1) = 5$，解得$|m| = 3$，所以$m = 3$或$m = -3$。
2. 单项式的系数$m-3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
结合以上两个条件，$m$只能取$-3$。
3. 下列说法中正确的是(
A.$\frac {1}{3}πx^{2}的系数是\frac {1}{3}$
B.$\frac {1}{3}x^{2}y$的次数是2
C.$x$的次数是0
D.$-5x^{2}的系数是-5$
D
)A.$\frac {1}{3}πx^{2}的系数是\frac {1}{3}$
B.$\frac {1}{3}x^{2}y$的次数是2
C.$x$的次数是0
D.$-5x^{2}的系数是-5$
答案
D
解析
A选项：对于$\frac{1}{3}\pi x^{2}$，其系数是与$x$无关的常数部分，即$\frac{1}{3}\pi$，不是$\frac{1}{3}$，所以A选项错误。
B选项：对于$\frac{1}{3}x^{2}y$，次数是所有字母的指数之和，即$2+1=3$，不是2，所以B选项错误。
C选项：对于$x$，它的次数是1，不是0，所以C选项错误。
D选项：对于$-5x^{2}$，其系数是与$x$无关的常数部分，即$-5$，所以D选项正确。
B选项：对于$\frac{1}{3}x^{2}y$，次数是所有字母的指数之和，即$2+1=3$，不是2，所以B选项错误。
C选项：对于$x$，它的次数是1，不是0，所以C选项错误。
D选项：对于$-5x^{2}$，其系数是与$x$无关的常数部分，即$-5$，所以D选项正确。
4. 今年“十一”期间,某公园接待的游客数比去年同期增长了$6.3\%$. 若去年同期这个公园接待了游客$m$万人,则今年接待游客数是
$1.063m$
万人,此单项式的系数是$1.063$
,次数是$1$
.答案
今年接待游客数是$1.063m$万人，此单项式的系数是$1.063$，次数是$1$。
（题目要求直接填答案的话，应分别填：$1.063m$，$1.063$，$1$）
（题目要求直接填答案的话，应分别填：$1.063m$，$1.063$，$1$）
解析
根据题意，去年接待游客$m$万人，今年增长了$6.3\%$，所以今年接待游客数为：
$m × (1 + 6.3\%) = m × 1.063 = 1.063m$（万人）。
单项式$1.063m$的系数是$1.063$，次数是$1$（因为$m$的指数为$1$）。
$m × (1 + 6.3\%) = m × 1.063 = 1.063m$（万人）。
单项式$1.063m$的系数是$1.063$，次数是$1$（因为$m$的指数为$1$）。
5. 如果单项式$\frac {1}{9}xy^{2n+5}$和$-x^{2}y^{2}$的次数相同,则$n^{2024}$的值为
1
.答案
1
解析
根据题意，两单项式的次数相同。
首先，$\frac {1}{9}xy^{2n+5}$的次数为$1+2n+5=2n+6$。
其次，$-x^{2}y^{2}$的次数为$2+2=4$。
由于两单项式的次数相同，所以有$2n+6=4$，
解得$2n = 4-6=-2$，
即$n=-1$。
然后我们需要求$n^{2024}$，即$(-1)^{2024}=1$。
首先，$\frac {1}{9}xy^{2n+5}$的次数为$1+2n+5=2n+6$。
其次，$-x^{2}y^{2}$的次数为$2+2=4$。
由于两单项式的次数相同，所以有$2n+6=4$，
解得$2n = 4-6=-2$，
即$n=-1$。
然后我们需要求$n^{2024}$，即$(-1)^{2024}=1$。
6. 已知$(a-2)x^{2}y^{|a|+1}是关于x,y$的五次单项式,试求下列代数式的值.
(1)$a^{3}-1$；
(2)$(a-1)(a^{2}+a+1)$.
(1)$a^{3}-1$；
(2)$(a-1)(a^{2}+a+1)$.
答案
(1) $-9$；(2) $-9$。
解析
因为$(a - 2)x^{2}y^{|a| + 1}$是关于$x$，$y$的五次单项式，所以：
1. 所有字母指数和为$5$：$2 + (|a| + 1) = 5$，解得$|a| = 2$，即$a = \pm 2$；
2. 系数不为$0$：$a - 2 \neq 0$，即$a \neq 2$。
综上，$a = -2$。
(1) $a^3 - 1 = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$；
(2) $(a - 1)(a^2 + a + 1) = (-2 - 1)[(-2)^2 + (-2) + 1] = (-3)(4 - 2 + 1) = (-3)×3 = -9$。
1. 所有字母指数和为$5$：$2 + (|a| + 1) = 5$，解得$|a| = 2$，即$a = \pm 2$；
2. 系数不为$0$：$a - 2 \neq 0$，即$a \neq 2$。
综上，$a = -2$。
(1) $a^3 - 1 = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$；
(2) $(a - 1)(a^2 + a + 1) = (-2 - 1)[(-2)^2 + (-2) + 1] = (-3)(4 - 2 + 1) = (-3)×3 = -9$。
7. 观察下列一系列单项式的特点：
$\frac {1}{2}x^{2}y,-\frac {1}{4}x^{2}y^{2},\frac {1}{8}x^{2}y^{3},-\frac {1}{16}x^{2}y^{4},...$
(1)写出第8个单项式；
(2)猜想第$n$($n$为大于0的整数)个单项式的表达式,并指出它的系数和次数.
$\frac {1}{2}x^{2}y,-\frac {1}{4}x^{2}y^{2},\frac {1}{8}x^{2}y^{3},-\frac {1}{16}x^{2}y^{4},...$
(1)写出第8个单项式；
(2)猜想第$n$($n$为大于0的整数)个单项式的表达式,并指出它的系数和次数.
答案
(1) 第8个单项式为：$-\frac{1}{256}x^{2}y^{8}$。
(2) 第$n$个单项式的表达式为：$(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2^{n}}x^{2}y^{n}$，
系数：$(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2^{n}}$，
次数：$n+2$。
(2) 第$n$个单项式的表达式为：$(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2^{n}}x^{2}y^{n}$，
系数：$(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2^{n}}$，
次数：$n+2$。
填空 多项式 $3a^{2}-abc + b^{2}c$ 的项分别是
$3a^{2}$、$-abc$、$b^{2}c$
,它是三
次三
项式.答案
$3a^{2}$、$-abc$、$b^{2}c$；三；三
解析
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，所以该多项式的项分别是$3a^{2}$、$-abc$、$b^{2}c$；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，$3a^{2}$的次数是2，$-abc$的次数是1+1+1=3，$b^{2}c$的次数是2+1=3，所以最高次数是3，该多项式有3项，故它是三次三项式。
例1 下列式子中：① $-3mn^{2}$,② $a - 2b$,③ $\frac{x + y}{2}$,④ $\frac{x}{5}+6$,⑤ $s-\frac{1}{t}$,⑥ $x^{2}+\frac{1}{3}x$,多项式的个数是(
A.3
B.4
C.5
D.6
名师导引 判断一个式子是不是多项式,关键看式子是不是几个单项式的和的形式. 分母含有字母的不是整式,自然不是多项式.
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
名师导引 判断一个式子是不是多项式,关键看式子是不是几个单项式的和的形式. 分母含有字母的不是整式,自然不是多项式.
答案
B
解析
根据多项式的定义，判断每个式子是否为多项式，即是否为几个单项式的和的形式，且分母中不含有字母。
①$-3mn^{2}$是单项式，不是多项式；
②$a - 2b$是多项式；
③$\frac{x + y}{2}$可以化简为$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y$，是多项式；
④$\frac{x}{5}+6$可以化简为$\frac{1}{5}x+6$，是多项式；
⑤$s-\frac{1}{t}$分母中含有字母，不是多项式；
⑥$x^{2}+\frac{1}{3}x$是多项式。
所以，②③④⑥是多项式，共4个。
①$-3mn^{2}$是单项式，不是多项式；
②$a - 2b$是多项式；
③$\frac{x + y}{2}$可以化简为$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y$，是多项式；
④$\frac{x}{5}+6$可以化简为$\frac{1}{5}x+6$，是多项式；
⑤$s-\frac{1}{t}$分母中含有字母，不是多项式；
⑥$x^{2}+\frac{1}{3}x$是多项式。
所以，②③④⑥是多项式，共4个。
