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6. 如图,⊙O 内两弦 AB,CD 交于点 P,OP 平分∠APC,有下列结论：①AB= CD.②$\widehat{BC}= \widehat{AD}$.③PB= PO.④AP= PB.其中正确的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N。
∵OP平分∠APC，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON。
∵OM、ON为弦心距，OM=ON，
∴AB=CD，故①正确。
∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}-\widehat{BD}=\widehat{CD}-\widehat{BD}$，即$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，故②正确。
③PB=PO，④AP=PB，无法由已知条件推出，故③④错误。
正确的有①②，共2个。
B
∵OP平分∠APC，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON。
∵OM、ON为弦心距，OM=ON，
∴AB=CD，故①正确。
∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}-\widehat{BD}=\widehat{CD}-\widehat{BD}$，即$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，故②正确。
③PB=PO，④AP=PB，无法由已知条件推出，故③④错误。
正确的有①②，共2个。
B
7. 如图,AB,CD 为⊙O 的两条弦,AB= CD,OE⊥AB 于点 E,且 OE= 2 cm,那么点 O 到 CD 的距离为
2
cm.答案
2
解析
在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等。
因为 $AB = CD$，且 $OE \perp AB$，$OE$ 为弦 $AB$ 的弦心距，
所以点 $O$ 到 $CD$ 的距离等于 $OE$。
已知 $OE = 2\,cm$，
故点 $O$ 到 $CD$ 的距离为 $2\,cm$。
$2$
因为 $AB = CD$，且 $OE \perp AB$，$OE$ 为弦 $AB$ 的弦心距，
所以点 $O$ 到 $CD$ 的距离等于 $OE$。
已知 $OE = 2\,cm$，
故点 $O$ 到 $CD$ 的距离为 $2\,cm$。
$2$
8. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,且 AB= CD,M 是$\widehat{AC}$的中点,若 MB 的长度为5,则 MD 的长度为
5
.答案
5
解析
连接OM，OA，OC，OB，OD。
因为M是$\widehat{AC}$的中点，所以$\widehat{AM}=\widehat{CM}$。
因为AB=CD，所以$\widehat{AB}=\widehat{CD}$。
所以$\widehat{AB}+\widehat{AM}=\widehat{CD}+\widehat{CM}$，即$\widehat{BM}=\widehat{DM}$。
所以BM=DM。
因为MB=5，所以MD=5。
5
因为M是$\widehat{AC}$的中点，所以$\widehat{AM}=\widehat{CM}$。
因为AB=CD，所以$\widehat{AB}=\widehat{CD}$。
所以$\widehat{AB}+\widehat{AM}=\widehat{CD}+\widehat{CM}$，即$\widehat{BM}=\widehat{DM}$。
所以BM=DM。
因为MB=5，所以MD=5。
5
9. 如图,MN 为半圆 O 的直径,半径 OA⊥MN,D 为 OA 的中点,过点 D 作 BC//MN,则∠MNB 的度数为
15°
.答案
15°
解析
连接OB。
∵MN为半圆O的直径，OA⊥MN，
∴∠AOM=90°。
∵D为OA的中点，设OD=AD=x，则OA=2x，
∵OA=OB，
∴OB=2x。
∵BC//MN，OA⊥MN，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°。
在Rt△ODB中，OD=x，OB=2x，
∴cos∠DOB=OD/OB=x/(2x)=1/2，
∴∠DOB=60°。
∵∠AOM=90°，
∴∠BOM=∠AOM - ∠DOB=90° - 60°=30°。
∵点N，B在半圆O上，
∴∠MNB=1/2∠BOM=1/2×30°=15°。
15°
∵MN为半圆O的直径，OA⊥MN，
∴∠AOM=90°。
∵D为OA的中点，设OD=AD=x，则OA=2x，
∵OA=OB，
∴OB=2x。
∵BC//MN，OA⊥MN，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°。
在Rt△ODB中，OD=x，OB=2x，
∴cos∠DOB=OD/OB=x/(2x)=1/2，
∴∠DOB=60°。
∵∠AOM=90°，
∴∠BOM=∠AOM - ∠DOB=90° - 60°=30°。
∵点N，B在半圆O上，
∴∠MNB=1/2∠BOM=1/2×30°=15°。
15°
10. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条直径,AP 是⊙O 的弦,且 AP//CD,求证：$\widehat{BD}= \widehat{PD}$.
答案
证明：
连接$BP$，
因为$AB$，$CD$是$\odot O$的两条直径，
所以$OB = OC$，$\angle APB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
因为$AP// CD$，
所以$\angle AOC = \angle BAP$（两直线平行，内错角相等），
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\angle BOP = 2\angle BAP$，
所以$\angle BOP = 2\angle AOC$，
又因为$\angle BOD = \angle AOC$（对顶角相等），
所以$\angle BOP = 2\angle BOD$，
又因为$\angle BOP = \angle BOD + \angle DOP$，
所以$\angle BOD = \angle DOP$，
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所以$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{PD}$。
连接$BP$，
因为$AB$，$CD$是$\odot O$的两条直径，
所以$OB = OC$，$\angle APB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
因为$AP// CD$，
所以$\angle AOC = \angle BAP$（两直线平行，内错角相等），
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\angle BOP = 2\angle BAP$，
所以$\angle BOP = 2\angle AOC$，
又因为$\angle BOD = \angle AOC$（对顶角相等），
所以$\angle BOP = 2\angle BOD$，
又因为$\angle BOP = \angle BOD + \angle DOP$，
所以$\angle BOD = \angle DOP$，
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所以$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{PD}$。
11. 如图,A,B 分别为$\widehat{CD}和\widehat{EF}$的中点,AB 分别交 CD,EF 于点 M,N,且 AM= BN.求证：CD= EF.
答案
连接OA、OB，OA交CD于G，OB交EF于H。
∵A是$\widehat{CD}$中点，∴OA⊥CD（垂径定理推论），同理OB⊥EF，故∠OGM=∠OHN=90°。
∵OA=OB，∴△OAB为等腰三角形，∠OAM=∠OBN。
在△OAM和△OBN中，$\left\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠OAM=∠OBN\\AM=BN\end{array}\right.$，∴△OAM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠AOM=∠BON。
在Rt△OGM和Rt△OHN中，$\left\{\begin{array}{l}∠OGM=∠OHN=90°\\∠OMG=∠ONH\\OM=ON\end{array}\right.$，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴OG=OH。
∵在同圆中，弦心距相等则弦相等，∴CD=EF。
结论：CD=EF
∵A是$\widehat{CD}$中点，∴OA⊥CD（垂径定理推论），同理OB⊥EF，故∠OGM=∠OHN=90°。
∵OA=OB，∴△OAB为等腰三角形，∠OAM=∠OBN。
在△OAM和△OBN中，$\left\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠OAM=∠OBN\\AM=BN\end{array}\right.$，∴△OAM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠AOM=∠BON。
在Rt△OGM和Rt△OHN中，$\left\{\begin{array}{l}∠OGM=∠OHN=90°\\∠OMG=∠ONH\\OM=ON\end{array}\right.$，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴OG=OH。
∵在同圆中，弦心距相等则弦相等，∴CD=EF。
结论：CD=EF
