1. 如图,在△ABC 中,∠ACD= ∠B.若 AD= 2,BD= 3,则 AC 的长为()

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.6

C

由题意，$\angle ACD=\angle B$，$\angle A=\angle A$（公共角），
根据相似三角形的判定定理（两个角对应相等的三角形相似），可得$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
已知$AD = 2$，$BD = 3$，则$AB=AD + BD=2 + 3 = 5$，
设$AC=x$，代入$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$可得：$\frac{x}{5}=\frac{2}{x}$，
即$x^{2}=10$，
因为$x\gt0$，所以$x = \sqrt{10}$。

2. 如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是()

A.∠ABD= ∠ACB
B.∠ADB= ∠ABC
C.$AB^{2}= AD\cdot AC$
D.$\frac{AD}{AB}= \frac{AB}{BC}$

D

选项A：$\angle ABD = \angle ACB$，且$\angle A$是公共角。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定$\triangle ADB \sim \triangle ABC$。
选项B：$\angle ADB=\angle ABC$，且$\angle A$是公共角。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定$\triangle ADB \sim \triangle ABC$。
选项C：$AB^{2}=AD\cdot AC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，且$\angle A$是公共角。
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可判定$\triangle ADB \sim \triangle ABC$。
选项D：$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，此时夹角为$\angle A$和$\angle ABC$，不是公共角，不能判定$\triangle ADB \sim \triangle ABC$。

3. 如图,若△ABC 与$△A_1B_1C_1 $是位似图形,则位似中心的坐标是()

A.(1,-1)
B.(-1,-1)
C.(0,0)
D.(0,-1)

D

位似图形对应点连线所在直线的交点即为位似中心。
设位似中心为点$P$，连接$AA_1$，$BB_1$，$CC_1$并延长，其交点即为位似中心。
通过观察图形，连接$AA_1$和$BB_1$并延长，发现它们相交于点$(0, -1)$，再验证$CC_1$也经过该点。
所以位似中心的坐标是$(0, -1)$。

4. 如图,在△ABC 中,DE//BC 分别交 AC,AB 于点 D,E,EF//AC 交 BC 于点 F,$\frac{AE}{BE}= \frac{2}{5}$,BF= 8,则 DE 的长为()

A.$\frac{16}{5}$
B.$\frac{16}{7}$
C.2
D.3

A

设AE=2k，BE=5k，则AB=7k。
∵EF//AC，∴△BEF∽△BAC，相似比为BE/BA=5k/7k=5/7。
∵BF=8，∴BF/BC=5/7，即8/BC=5/7，解得BC=56/5。
∵DE//BC，EF//AC，∴四边形DEFC为平行四边形，∴DE=FC。
FC=BC-BF=56/5 - 8=16/5，故DE=16/5。