21. (本小题 8 分)如图,AB 为$\odot O$的直径,点 C 在$\odot O$上,$\angle ACB$的平分线 CD 交$\odot O$于点 D,过点 D 作$DE// AB$,交 CB 的延长线于点 E.
(1) 求证:直线 DE 是$\odot O$的切线;
(2) 若$\angle BAC= 30°$,$BC= 2\sqrt{2}$,求 CD 的长.

(1) 见解析；(2) CD=2(√3 + 1)。

(1) 证明：连接OD。
∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°。
∴∠AOD=2∠ACD=90°（同弧所对圆心角是圆周角2倍）。
∵DE//AB，∴∠ODE=∠AOD=90°（两直线平行，内错角相等）。
∴OD⊥DE，又OD为半径，∴DE是⊙O的切线。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2√2，
∴AB=2BC=4√2（30°角所对直角边是斜边一半），
AC=AB·cos30°=4√2×(√3/2)=2√6。
连接AD、BD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴弧AD=弧BD，∴AD=BD。
∴△ABD为等腰直角三角形，AD=BD=AB·(√2/2)=4√2×(√2/2)=4。
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，∵CD平分∠ACB，∴DM=DN，设DM=DN=x。
∵∠ACD=45°，∴CM=DM=x，CN=DN=x，
AM=AC-CM=2√6 - x，BN=BC-CN=2√2 - x。
∵∠DAC=∠BAC+∠DAB=30°+45°=75°（∠DAB=45°，△ABD为等腰直角三角形），
在Rt△DAM中，tan75°=DM/AM= x/(2√6 - x)=2+√3，
解得x=√6 + √2。
∵△DMC为等腰直角三角形，∴CD=√2x=√2(√6 + √2)=2√3 + 2=2(√3 + 1)。

22. (本小题 8 分)如图,AB,AC 分别与$\odot O$相切于 B,C 两点,BO的延长线交弦 CD 于点 E,$CE= DE$,连接 OD.
(1) 求证:$\angle A= \angle DOE$;
(2) 若$OD// AC$,$\odot O$的半径为 2,求 AB 的长.

(1)见解析；(2)AB=2√2+2。

(1)证明：
∵AB,AC是⊙O切线，∴OB⊥AB,OC⊥AC，∠ABO=∠ACO=90°。
在四边形ABOC中，∠A+∠ABO+∠BOC+∠ACO=360°，
∴∠A+∠BOC=180°，即∠A=180°-∠BOC。
∵E是CD中点，BO延长线交CD于E，∴OE平分CD。由垂径定理逆定理得OE⊥CD，∠OEC=90°。
∵OC=OD，OE⊥CD，∴OE平分∠COD（三线合一），∠COE=∠DOE，∠COD=2∠DOE。
∵B,O,E共线，∴∠BOC+∠COE=180°，即∠BOC+∠DOE=180°，∠BOC=180°-∠DOE。
∴∠A=180°-(180°-∠DOE)=∠DOE，即∠A=∠DOE。
(2)解：
∵OD//AC，AC⊥OC，∴OD⊥OC，∠COD=90°。
由(1)知∠COD=2∠DOE，∴∠DOE=45°，又∠A=∠DOE，∴∠A=45°。
⊙O半径为2，OC=OD=2。在Rt△COD中，CD=√(OC²+OD²)=2√2，OE=CD/2=√2。
∵AB=AC（切线长定理），在Rt△ACO中，∠CAO=∠A/2=22.5°，
tan∠CAO=OC/AC，tan22.5°=2/AC，又tan22.5°=√2-1，
∴AC=2/(√2-1)=2(√2+1)，故AB=AC=2√2+2。