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3. 如图 6-3-24,小明将一张长方形纸片 ABCD 的$∠C$沿着 GF 折叠(F 在 BC 边上,不与 B,C 重合),使得 C 点落在长方形 ABCD 的内部点 E 处,FH 平分$∠BFE$,则$∠GFH$的度数α满足(
A.$90^{\circ }＜α＜180^{\circ }$
B.$α=90^{\circ }$
C.$0^{\circ }＜α＜90^{\circ }$
D.α随着折痕的位置变化而变化
]
B
)A.$90^{\circ }＜α＜180^{\circ }$
B.$α=90^{\circ }$
C.$0^{\circ }＜α＜90^{\circ }$
D.α随着折痕的位置变化而变化
]
答案
B 点拨：因为长方形纸片 ABCD 的∠C 沿着 GF 折叠，所以∠GFC=∠GFE=$\frac{1}{2}$∠CFE. 又因为 FH 平分∠BFE，所以∠EFH=∠BFH=$\frac{1}{2}$∠BFE，所以∠GFH=∠GFE+∠EFH=$\frac{1}{2}$(∠CFE+∠BFE)=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
4. 如图 6-3-25,$∠1:∠2:∠3= 2:3:5$,$∠4= 60^{\circ }$,则$∠1= $
60
$^{\circ }$,$∠2= $90
$^{\circ }$,$∠3= $150
$^{\circ }$.答案
60 90 150 点拨：因为∠1:∠2:∠3=2:3:5，所以可设∠1=2x，∠2=3x，∠3=5x，则 2x+3x+5x+60°=360°，解得 x=30°，所以∠1=60°，∠2=90°，∠3=150°.
解析
设$\angle1 = 2x$，$\angle2 = 3x$，$\angle3 = 5x$。
因为$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 360°$，$\angle4 = 60°$，所以$2x + 3x + 5x + 60° = 360°$。
解得$10x = 300°$，$x = 30°$。
则$\angle1 = 2x = 60°$，$\angle2 = 3x = 90°$，$\angle3 = 5x = 150°$。
$60$；$90$；$150$
因为$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 360°$，$\angle4 = 60°$，所以$2x + 3x + 5x + 60° = 360°$。
解得$10x = 300°$，$x = 30°$。
则$\angle1 = 2x = 60°$，$\angle2 = 3x = 90°$，$\angle3 = 5x = 150°$。
$60$；$90$；$150$
5. 如图 6-3-26,$∠AOB= 42^{\circ }$,$∠BOC= 86^{\circ }$,OD 为$∠AOC$的平分线,则$∠BOD= $
]
22°
.]
答案
22° 点拨：因为∠AOB=42°，∠BOC=86°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=42°+86°=128°. 因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×128°=64°. 所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=64°-42°=22°.
解析
因为$\angle AOB = 42°$，$\angle BOC = 86°$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC = 42°+86°=128°$。
因为$OD$平分$\angle AOC$，所以$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×128° = 64°$。
所以$\angle BOD=\angle AOD-\angle AOB=64° - 42°=22°$。
22°
因为$OD$平分$\angle AOC$，所以$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×128° = 64°$。
所以$\angle BOD=\angle AOD-\angle AOB=64° - 42°=22°$。
22°
6. 如图 6-3-27,A,O,B 三点在一条直线上,$∠AOC= \frac {1}{2}∠BOC+30^{\circ }$,OE 平分$∠BOC$,则$∠BOE=$
50°
.答案
50° 点拨：因为 A，O，B 三点在一条直线上，所以∠AOC+∠BOC=180°. 又因为 OE 平分∠BOC，所以∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOC+30°=∠BOE+30°. 所以∠BOE+30°+2∠BOE=180°. 故∠BOE=50°.
解析
因为A，O，B三点在一条直线上，所以∠AOC+∠BOC=180°。
设∠BOE=x，因为OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠BOE=2x。
又因为∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOC+30°，所以∠AOC=x+30°。
则x+30°+2x=180°，解得x=50°。
∠BOE=50°
设∠BOE=x，因为OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠BOE=2x。
又因为∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOC+30°，所以∠AOC=x+30°。
则x+30°+2x=180°，解得x=50°。
∠BOE=50°
1. 【推理问题】根据图 6-3-28 可知.
(1)已知$∠AOB= 90^{\circ }$,$∠BOC= 30^{\circ }$,OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,求$∠MON$的度数；
(2)如果(1)中$∠AOB= α$,其他条件不变,求$∠MON$的度数；
(3)如果(1)中$∠BOC= β$(β为锐角),其他条件不变,求$∠MON$的度数；
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么结论？
]
(1)已知$∠AOB= 90^{\circ }$,$∠BOC= 30^{\circ }$,OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,求$∠MON$的度数；
(2)如果(1)中$∠AOB= α$,其他条件不变,求$∠MON$的度数；
(3)如果(1)中$∠BOC= β$(β为锐角),其他条件不变,求$∠MON$的度数；
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么结论？
]
答案
解：
(1)∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°.
(2)当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=$\frac{1}{2}$α.
(3)当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=45°.
(4)由
(1)
(2)
(3)的结果和
(1)的解答过程可以看出∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半，而与∠BOC 的大小没有关系.
(1)∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°.
(2)当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=$\frac{1}{2}$α.
(3)当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=45°.
(4)由
(1)
(2)
(3)的结果和
(1)的解答过程可以看出∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半，而与∠BOC 的大小没有关系.
2. 【推理问题】如图 6-3-29,BO,CO 分别平分$∠ABC和∠ACB$(已知三角形内角和为$180^{\circ }$).
(1)若$∠A= 70^{\circ }$,求$∠O$的度数；
(2)若$∠A= 90^{\circ }或130^{\circ }$,$∠O$的度数又是多少？
(3)由(1)(2)你发现了什么规律？当$∠A$的度数发生变化后,你的结论成立吗？
]
(1)若$∠A= 70^{\circ }$,求$∠O$的度数；
(2)若$∠A= 90^{\circ }或130^{\circ }$,$∠O$的度数又是多少？
(3)由(1)(2)你发现了什么规律？当$∠A$的度数发生变化后,你的结论成立吗？
]
答案
解：
(1)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°. 又因为 BO、CO 平分∠ABC 和∠ACB，所以∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，所以∠2+∠4=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°，所以∠O=180°-(∠2+∠4)=125°.
(2)当∠A=90°时，同理可求得∠O=135°，当∠A=130°时，同理可求得∠O=155°.
(3)由
(1)
(2)可以发现如下规律：∠A=70°时，∠O=125°=90°+70°×$\frac{1}{2}$；∠A=90°时，∠O=135°=90°+90°×$\frac{1}{2}$；∠A=130°时，∠O=155°=90°+130°×$\frac{1}{2}$. 由此可进一步得出：∠O=90°+$\frac{1}{2}$∠A，当∠A 的度数发生变化时，该结论仍然成立.
(1)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°. 又因为 BO、CO 平分∠ABC 和∠ACB，所以∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，所以∠2+∠4=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°，所以∠O=180°-(∠2+∠4)=125°.
(2)当∠A=90°时，同理可求得∠O=135°，当∠A=130°时，同理可求得∠O=155°.
(3)由
(1)
(2)可以发现如下规律：∠A=70°时，∠O=125°=90°+70°×$\frac{1}{2}$；∠A=90°时，∠O=135°=90°+90°×$\frac{1}{2}$；∠A=130°时，∠O=155°=90°+130°×$\frac{1}{2}$. 由此可进一步得出：∠O=90°+$\frac{1}{2}$∠A，当∠A 的度数发生变化时，该结论仍然成立.
