6. 二次函数 $ y = -x^{2} - 2kx + 1(k \lt 0) $ 的图象可能是()

D

二次函数$y = -x^2 - 2kx + 1(k \lt 0)$，其中$a=-1\lt0$，开口向下；与$y$轴交点为$(0,1)$（正半轴）；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2k}{2×(-1)}=-k$，因$k\lt0$，则$-k\gt0$，对称轴在$y$轴右侧。综上，开口向下、交$y$轴正半轴、对称轴在右侧，符合条件的为选项D。

7. 如图,点 $ A $ 是反比例函数 $ y = -\frac{2}{x} $ 在第二象限内图象上一点,点 $ B $ 是反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 在第一象限内图象上一点,直线 $ AB $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,且 $ AC = BC $,连接 $ OA $, $ OB $,则 $ \triangle AOB $ 的面积是()

A.$ 2 $
B.$ 2.5 $
C.$ 3 $
D.$ 3.5 $

C

设点$A(a,-\frac{2}{a})$（$a＜0$，第二象限），点$B(b,\frac{4}{b})$（$b＞0$，第一象限），直线$AB$交$y$轴于点$C$，且$AC=BC$，则$C$为$AB$中点。
由中点坐标公式，$C$横坐标为$\frac{a+b}{2}=0$，得$b=-a$。
$C$纵坐标$c=\frac{-\frac{2}{a}+\frac{4}{b}}{2}$，将$b=-a$代入得$c=\frac{-\frac{2}{a}+\frac{4}{-a}}{2}=-\frac{3}{a}$。
$\triangle AOB$面积可分为$\triangle AOC$和$\triangle BOC$，$OC=c$，$A$到$y$轴距离$|a|=-a$，$B$到$y$轴距离$b=-a$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot (-a)+\frac{1}{2}\cdot c\cdot (-a)=c(-a)$。
将$c=-\frac{3}{a}$代入得$S_{\triangle AOB}=(-\frac{3}{a})(-a)=3$。

8. 如图,点 $ A $ 为 $ x $ 轴上一点,点 $ B $ 的坐标为 $ (a,b) $,以 $ OA $, $ AB $ 为边构造 $ □ OABC $,过点 $ O $, $ C $, $ B $ 的抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ D $,连接 $ CD $,交边 $ AB $ 于点 $ E $.若 $ AE = BE $,则点 $ C $ 的横坐标为()

A.$ a - b $
B.$ \frac{b}{2} $
C.$ \frac{a}{3} $
D.$ \frac{a}{4} $

C

设点$ A(m,0) $，$ C(p,q) $。
∵四边形$ OABC $是平行四边形，$ OA // BC $，$ AB // OC $，且$ B(a,b) $，
∴$ C $点纵坐标与$ B $相同，即$ q = b $；$ AB // OC $，则$ AB $与$ OC $斜率相等，可得$ p = a - m $（过程略）。
设抛物线方程为$ y = kx^2 + tx $（过原点$ O $），∵抛物线过$ B(a,b) $、$ C(a - m,b) $，
∴$ B $、$ C $关于抛物线对称轴对称，对称轴为$ x = \frac{a + (a - m)}{2} = \frac{2a - m}{2} $，
又抛物线与$ x $轴交于$ O(0,0) $和$ D $，由抛物线对称性得$ D(2a - m,0) $。
∵$ AE = BE $，$ E $为$ AB $中点，$ A(m,0) $，$ B(a,b) $，∴$ E\left( \frac{a + m}{2}, \frac{b}{2} \right) $。
直线$ CD $过$ C(a - m,b) $、$ D(2a - m,0) $，斜率$ k_{CD} = \frac{0 - b}{(2a - m) - (a - m)} = -\frac{b}{a} $，
方程为$ y = -\frac{b}{a}(x - (2a - m)) $。
∵$ E $在直线$ CD $上，代入$ E\left( \frac{a + m}{2}, \frac{b}{2} \right) $：
$ \frac{b}{2} = -\frac{b}{a}\left( \frac{a + m}{2} - (2a - m) \right) $，解得$ m = \frac{2a}{3} $。
∴$ C $的横坐标$ p = a - m = a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3} $。

9. 如图,已知双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k \lt 0) $ 的图象经过直角三角形 $ OBA $ 斜边 $ OA $ 的中点 $ D $,且与直角边 $ AB $ 相交于点 $ C $.若点 $ A $ 的坐标为 $ (-8,4) $,则 $ \triangle AOC $ 的面积为()

A.$ 12 $
B.$ 16 $
C.$ 8 $
D.$ 32 $

A

因为点$A$的坐标为$(-8,4)$，$D$是$OA$的中点，根据中点坐标公式，若有两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则它们的中点$P$坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，这里$O(0,0)$，$A(-8,4)$，所以$D$点坐标为$(\frac{0 - 8}{2},\frac{0 + 4}{2})$，即$D(-4,2)$。
因为双曲线$y=\frac{k}{x}(k\lt0)$经过$D(-4,2)$，将$D$点坐标代入双曲线方程可得$2=\frac{k}{-4}$，解得$k = - 8$，所以双曲线方程为$y=-\frac{8}{x}$。
因为点$C$在$AB$上，$AB$垂直$x$轴，$A$点横坐标为$-8$，所以设$C$点坐标为$(-8,m)$，又因为点$C$在双曲线$y = -\frac{8}{x}$上，将$x = - 8$代入双曲线方程得$y=-\frac{8}{-8}=1$，即$C$点坐标为$(-8,1)$。
已知$A(-8,4)$，$C(-8,1)$，$O(0,0)$，$AC$的长度为$\vert4 - 1\vert=3$，$O$点到$AB$的距离（即$OB$的长度）为$\vert - 8\vert = 8$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里以$AC$为底，$OB$为高，所以${S}_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× AC× OB=\frac{1}{2}×3×8 = 12$。

10. 如图,已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ (-3,0) $,顶点是 $ (-1,m) $,则以下结论:① $ abc \gt 0 $;② $ 4a + 2b + c \gt 0 $;③若 $ y \geq c $,则 $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 0 $;④ $ b + c = \frac{1}{2}m $.其中正确的个数是()

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

B

由二次函数顶点(-1,m)得对称轴x=-1，故b=2a；由与x轴交于(-3,0)及对称性得另一交点(1,0)，代入得3a+c=0即c=-3a。
①abc＞0：a＞0时，b=2a＞0，c=-3a＜0，abc＜0；a＜0时，b＜0，c＞0，abc＞0，无法确定，①错误。
②4a+2b+c=5a：a＞0时5a＞0，②正确。
③y≥c即ax²+bx≥0，a＞0时x(x+2)≥0，解得x≤-2或x≥0，③正确。
④b+c=2a+c=-a，(1/2)m=-2a，-a≠-2a，④错误。
正确结论为②③，共2个。

11. 若反比例函数 $ y = \frac{1 - k}{x} $ 的图象与直线 $ y = x $ 没有交点,则 $ k $ 的取值范围是.

$k ＞ 1$

联立反比例函数与直线方程：$\begin{cases} y = \frac{1 - k}{x} \\ y = x \end{cases}$，将$y = x$代入$y = \frac{1 - k}{x}$得$x = \frac{1 - k}{x}$，两边乘$x$（$x \neq 0$）得$x^2 = 1 - k$。要使两图象无交点，方程$x^2 = 1 - k$无实根，即$1 - k ＜ 0$，解得$k ＞ 1$。

12. 已知反比例函数 $ y = mx^{2m^{2} + 3m - 6} $ 的图象在第二、四象限,则 $ m = $.

$-\frac{5}{2}$

因为函数为反比例函数，所以$2m^{2}+3m - 6=-1$，即$2m^{2}+3m - 5=0$，因式分解得$(2m + 5)(m - 1)=0$，解得$m=-\frac{5}{2}$或$m=1$。又因图象在第二、四象限，所以$m＜0$，故$m=-\frac{5}{2}$。