13. 如图, $ \triangle OAC $ 和 $ \triangle BAD $ 都是等腰直角三角形, $ \angle ACO = \angle ADB = 90^{\circ} $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 在第一象限的图象经过点 $ B $.若 $ OA^{2} - AB^{2} = 12 $,则 $ k $ 的值为 ______.

$6$

本题可根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，结合$OA^{2}-AB^{2}=12$求出点$B$的坐标，进而求出$k$的值。
设$OC=a$，$AD=b$。
因为$\triangle OAC$是等腰直角三角形，$\angle ACO = 90^{\circ}$，根据等腰直角三角形的性质可知$AC = OC = a$，$OA=\sqrt{OC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=\sqrt{2}a$。
因为$\triangle BAD$是等腰直角三角形，$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$BD = AD = b$，$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{b^{2}+b^{2}}=\sqrt{2b^{2}}=\sqrt{2}b$。
已知$OA^{2}-AB^{2}=12$，将$OA=\sqrt{2}a$，$AB=\sqrt{2}b$代入可得：$(\sqrt{2}a)^{2}-(\sqrt{2}b)^{2}=12$，即$2a^{2}-2b^{2}=12$，化简得$a^{2}-b^{2}=6$。
点$B$的横坐标为$OC + BD=a + b$，纵坐标为$AC - AD=a - b$。
因为反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点$B$，所以$k=(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
由$a^{2}-b^{2}=6$，可得$k = 6$。

14. 一条上山直道的坡度为 $ 1:7 $,沿这条直道上山,每前进 100 m 所上升的高度为 m.

$ 10\sqrt{2} $

设上升高度为 $ x $ m，水平距离为 $ 7x $ m。由勾股定理得 $ x^2 + (7x)^2 = 100^2 $，即 $ 50x^2 = 10000 $，$ x^2 = 200 $，$ x = 10\sqrt{2} $（负值舍去）。

15. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,则它关于 $ y $ 轴对称的抛物线的表达式是 .

$y=x^2+4x+3$

由图可知原抛物线与x轴交于(1,0)，(3,0)，与y轴交于(0,3)，设原抛物线表达式为$y=a(x-1)(x-3)$，将(0,3)代入得$3=a(0-1)(0-3)$，解得$a=1$，原抛物线为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。关于y轴对称的抛物线，将$x$换为$-x$，得$y=(-x)^2-4(-x)+3=x^2+4x+3$。

16. 如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 60^{\circ} $, $ D $ 是 $ BC $ 边上的一个动点(不与点 $ B $, $ C $ 重合), $ DE // AB $,交 $ AC $ 于点 $ E $, $ EF // BC $,交 $ AB $ 于点 $ F $.设 $ BD $ 的长为 $ x $,四边形 $ BDEF $ 的面积为 $ y $, $ y $ 与 $ x $ 的函数图象是如图 2 所示的一段抛物线,其顶点 $ P $ 的坐标为 $ (2,3) $,则 $ AB $ 的长为 ______.

$ 2\sqrt{3} $

设 $ BC=a $，$ AB=c $（即求 $ c $）。
∵ $ DE// AB $，$ EF// BC $，∴ 四边形 $ BDEF $ 为平行四边形，$ \triangle CDE\backsim\triangle CBA $，$ \triangle AFE\backsim\triangle ABC $。
$ BD=x $，则 $ CD=a-x $，$ \triangle CDE $ 与 $ \triangle CBA $ 相似比为 $ \frac{CD}{CB}=\frac{a-x}{a} $，故 $ DE=AB\cdot\frac{a-x}{a}=\frac{c(a-x)}{a} $。
平行四边形 $ BDEF $ 面积 $ y=BD\cdot h $（$ h $ 为高），$ h=DE\cdot\sin60°=\frac{c(a-x)}{a}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} $，
∴ $ y=x\cdot\frac{c(a-x)}{a}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}c}{2a}(ax-x^2)=-\frac{\sqrt{3}c}{2a}x^2+\frac{\sqrt{3}c}{2}x $。
此二次函数顶点横坐标为 $ \frac{a}{2}=2 $（已知顶点横坐标 2），得 $ a=4 $。
顶点纵坐标 $ y=3 $，代入 $ x=2 $，$ a=4 $：$ 3=\frac{\sqrt{3}c}{2×4}\cdot2(4-2) $，化简得 $ 3=\frac{\sqrt{3}c}{2} $，解得 $ c=2\sqrt{3} $。

17. (4 分)计算: $ 2^{-1} - (\pi - 2018)^{0} + \cos^{2} 45^{\circ} + \tan 30^{\circ} × \sin 60^{\circ} $.

原式$=\frac{1}{2}-1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}$.