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11.【数学应用】一根木棍原长 m m，如果从第一天起每天折断它的一半。
(1)请写出木棍第一天、第二天、第三天的长度分别是多少；
(2)试推断第 n 天木棍的长度是多少。
(1)请写出木棍第一天、第二天、第三天的长度分别是多少；
(2)试推断第 n 天木棍的长度是多少。
答案
11.(1)$\frac{m}{2}\ \mathrm{m},\frac{m}{4}\ \mathrm{m},\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$ (2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题时先明确“每天折断它的一半”的含义：每天剩余的木棍长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$。对于第一问，直接依次计算每天的剩余长度即可；对于第二问，观察前三天长度的规律，结合乘方的意义推导第n天的长度。
【解析】
(1) 已知木棍原长为$m\ \mathrm{m}$：
第一天折断一半后，剩余长度为原长的$\frac{1}{2}$，即$m×\frac{1}{2}=\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$；
第二天折断一半后，剩余长度是第一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{2}×\frac{1}{2}=\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$；
第三天折断一半后，剩余长度是第二天剩余长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{4}×\frac{1}{2}=\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$。
(2) 观察前三天的长度：
第1天：$\frac{m}{2}=\frac{m}{2^1}\ \mathrm{m}$
第2天：$\frac{m}{4}=\frac{m}{2^2}\ \mathrm{m}$
第3天：$\frac{m}{8}=\frac{m}{2^3}\ \mathrm{m}$
以此类推，第$n$天木棍的长度是$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$\frac{m}{2}\ \mathrm{m},\frac{m}{4}\ \mathrm{m},\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$ (2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式；乘方的应用；规律探究
【点评】
本题结合生活情境考查代数式的列写与规律推导，解题的核心是准确理解“每天折断一半”的数量关系，通过归纳前几日的结果总结通用规律，属于基础类应用题，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时先明确“每天折断它的一半”的含义：每天剩余的木棍长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$。对于第一问，直接依次计算每天的剩余长度即可；对于第二问，观察前三天长度的规律，结合乘方的意义推导第n天的长度。
【解析】
(1) 已知木棍原长为$m\ \mathrm{m}$：
第一天折断一半后，剩余长度为原长的$\frac{1}{2}$，即$m×\frac{1}{2}=\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$；
第二天折断一半后，剩余长度是第一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{2}×\frac{1}{2}=\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$；
第三天折断一半后，剩余长度是第二天剩余长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{4}×\frac{1}{2}=\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$。
(2) 观察前三天的长度：
第1天：$\frac{m}{2}=\frac{m}{2^1}\ \mathrm{m}$
第2天：$\frac{m}{4}=\frac{m}{2^2}\ \mathrm{m}$
第3天：$\frac{m}{8}=\frac{m}{2^3}\ \mathrm{m}$
以此类推，第$n$天木棍的长度是$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$\frac{m}{2}\ \mathrm{m},\frac{m}{4}\ \mathrm{m},\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$ (2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式；乘方的应用；规律探究
【点评】
本题结合生活情境考查代数式的列写与规律推导，解题的核心是准确理解“每天折断一半”的数量关系，通过归纳前几日的结果总结通用规律，属于基础类应用题，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
12.如图,根据图中信息,用代数式表示图中阴影部分的面积。
(第12题)
(第12题)答案
12.$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2-a^2-b^2$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“整体减空白”的割补法简化计算：第一步先确定整个大图形是边长为(a+b)的正方形，计算出大正方形的总面积；第二步分析空白部分：包含2个直角边长为a的等腰直角三角形、2个直角边长为b的等腰直角三角形，分别计算两类空白三角形的面积和；第三步用大正方形总面积减去所有空白部分的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：首先计算大正方形的面积，大正方形边长为$a+b$，因此总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$
再计算空白部分的总面积：
2个直角边长为$a$的等腰直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}a^2=a^2$；
2个直角边长为$b$的等腰直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}b^2=b^2$；
因此阴影部分面积为总面积减去空白面积和：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{总}} - a^2 - b^2=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【答案】
$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2-a^2-b^2$
【知识点】
列代数式；割补法求面积；图形面积计算
【点评】
本题重点考查用代数式表示不规则图形的面积，选择整体减空白的割补法可大幅降低解题难度，解题时要准确识别各部分图形的形状和对应边长，避免错算空白部分的面积和。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用“整体减空白”的割补法简化计算：第一步先确定整个大图形是边长为(a+b)的正方形，计算出大正方形的总面积；第二步分析空白部分：包含2个直角边长为a的等腰直角三角形、2个直角边长为b的等腰直角三角形，分别计算两类空白三角形的面积和；第三步用大正方形总面积减去所有空白部分的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：首先计算大正方形的面积，大正方形边长为$a+b$，因此总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$
再计算空白部分的总面积：
2个直角边长为$a$的等腰直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}a^2=a^2$；
2个直角边长为$b$的等腰直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}b^2=b^2$；
因此阴影部分面积为总面积减去空白面积和：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{总}} - a^2 - b^2=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【答案】
$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2-a^2-b^2$
【知识点】
列代数式；割补法求面积；图形面积计算
【点评】
本题重点考查用代数式表示不规则图形的面积，选择整体减空白的割补法可大幅降低解题难度，解题时要准确识别各部分图形的形状和对应边长，避免错算空白部分的面积和。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】如图，某长方形广场的四角都有一块半径相等的四分之一圆形的草地，中间有一个与草地半径相等的圆形喷水池。若圆形的半径为$r$ m，长方形的长为$a$ m，宽为$b$ m，请用式子表示广场空地的面积。
答案
13.$(ab-2π r^2)\mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要求广场空地的面积，可采用“整体面积减去被占用部分面积”的思路求解：首先计算整个长方形广场的总面积，再计算草地和喷水池的总面积，最后将两者作差即可。解题时注意四个角的四分之一圆半径相同，可先合并为一个完整的圆，再加上中间半径相同的圆形喷水池，就能快速得到被占用部分的总面积，简化计算。
【解析】
解：
1. 计算长方形广场的总面积：
$\mathrm{S_{长方形}} = 长 × 宽 = ab \ (\mathrm{m}^2)$
2. 计算草地的总面积：
四个角各是1个半径为$r$的四分之一圆，合计面积为$4 × \frac{1}{4}π r^2 = π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
3. 计算中间喷水池的面积：
喷水池是半径为$r$的圆，面积为$π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
4. 计算被占用的总面积：
$π r^2 + π r^2 = 2π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
5. 计算广场空地面积：
空地面积 = 长方形总面积 - 被占用总面积，即$ab - 2π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$(ab-2π r^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式、长方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心解题思路是“整体减部分”，解题时要注意观察分散的扇形可以合并为整圆，简化计算步骤，避免分别计算四个扇形时出现错误。
【难度系数】
0.8
要求广场空地的面积，可采用“整体面积减去被占用部分面积”的思路求解：首先计算整个长方形广场的总面积，再计算草地和喷水池的总面积，最后将两者作差即可。解题时注意四个角的四分之一圆半径相同，可先合并为一个完整的圆，再加上中间半径相同的圆形喷水池，就能快速得到被占用部分的总面积，简化计算。
【解析】
解：
1. 计算长方形广场的总面积：
$\mathrm{S_{长方形}} = 长 × 宽 = ab \ (\mathrm{m}^2)$
2. 计算草地的总面积：
四个角各是1个半径为$r$的四分之一圆，合计面积为$4 × \frac{1}{4}π r^2 = π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
3. 计算中间喷水池的面积：
喷水池是半径为$r$的圆，面积为$π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
4. 计算被占用的总面积：
$π r^2 + π r^2 = 2π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
5. 计算广场空地面积：
空地面积 = 长方形总面积 - 被占用总面积，即$ab - 2π r^2 \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$(ab-2π r^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式、长方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心解题思路是“整体减部分”，解题时要注意观察分散的扇形可以合并为整圆，简化计算步骤，避免分别计算四个扇形时出现错误。
【难度系数】
0.8
