登录
类型三 作差法
比较两个数的大小,可以先求出两数的差,看差是大于0、等于0,还是小于0,从而确定两个数的大小.若$a - b ＞ 0$,则$a ＞ b$;若$a - b = 0$,则$a = b$;若$a - b ＜ 0$,则$a ＜ b$.
当两个数的大小非常接近,且无法直接比较大小时,作差法是常用的方法之一.
5.比较$\frac{52}{93}$和$\frac{17}{31}$的大小.
比较两个数的大小,可以先求出两数的差,看差是大于0、等于0,还是小于0,从而确定两个数的大小.若$a - b ＞ 0$,则$a ＞ b$;若$a - b = 0$,则$a = b$;若$a - b ＜ 0$,则$a ＜ b$.
当两个数的大小非常接近,且无法直接比较大小时,作差法是常用的方法之一.
5.比较$\frac{52}{93}$和$\frac{17}{31}$的大小.
答案
5. 解：因为$\frac{52}{93}-\frac{17}{31}=\frac{52}{93}-\frac{51}{93}=\frac{1}{93}＞0$,
所以$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$.
所以$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$.
解析
【分析】
要比较两个分数的大小，可按照题目给出的作差法规则解题：第一步计算两个分数的差，第二步判断差与0的大小关系，第三步依据规则确定两个数的大小关系。观察两个分数的分母，93是31的3倍，先将两个分数通分为同分母分数再计算差更简便。
【解析】
解：计算两数的差：
$\frac{52}{93}-\frac{17}{31}=\frac{52}{93}-\frac{17×3}{31×3}=\frac{52}{93}-\frac{51}{93}=\frac{1}{93}$
因为$\frac{1}{93}＞0$，根据作差法的判断规则：若$a-b＞0$，则$a＞b$，可得$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$。
【答案】
$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$
【知识点】
1.作差法比较大小 2.分数通分运算
【点评】
本题是作差法比较数的大小的基础应用，解题关键是准确计算两个数的差，再根据差的正负判断大小，主要考查对方法规则的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要比较两个分数的大小，可按照题目给出的作差法规则解题：第一步计算两个分数的差，第二步判断差与0的大小关系，第三步依据规则确定两个数的大小关系。观察两个分数的分母，93是31的3倍，先将两个分数通分为同分母分数再计算差更简便。
【解析】
解：计算两数的差：
$\frac{52}{93}-\frac{17}{31}=\frac{52}{93}-\frac{17×3}{31×3}=\frac{52}{93}-\frac{51}{93}=\frac{1}{93}$
因为$\frac{1}{93}＞0$，根据作差法的判断规则：若$a-b＞0$，则$a＞b$，可得$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$。
【答案】
$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$
【知识点】
1.作差法比较大小 2.分数通分运算
【点评】
本题是作差法比较数的大小的基础应用，解题关键是准确计算两个数的差，再根据差的正负判断大小，主要考查对方法规则的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
6.比较$-\dfrac{17}{2025}$和$-\dfrac{34}{4071}$的大小.
答案
6. 解：$|-\frac{17}{2025}|=\frac{17}{2025},|-\frac{34}{4071}|=\frac{34}{4071}$.
因为$\frac{17}{2025}÷\frac{34}{4071}=\frac{17}{2025}×\frac{4071}{34}=\frac{1357}{1350}＞1$,
所以$\frac{17}{2025}＞\frac{34}{4071}$,
所以$-\frac{17}{2025}＜-\frac{34}{4071}$.
因为$\frac{17}{2025}÷\frac{34}{4071}=\frac{17}{2025}×\frac{4071}{34}=\frac{1357}{1350}＞1$,
所以$\frac{17}{2025}＞\frac{34}{4071}$,
所以$-\frac{17}{2025}＜-\frac{34}{4071}$.
解析
【分析】
比较两个负数的大小，依据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则，可先将问题转化为比较两个负数的绝对值（即两个正分数）的大小。观察两个正分数的分子，发现34是17的2倍，因此选用作商法比较两个正分数的大小更简便：若两个正数相除的商大于1，则被除数大于除数；若商小于1，则被除数小于除数。得到绝对值的大小关系后，再反推两个负数的大小即可。
【解析】
第一步：先求两个负数的绝对值：
$\left|-\dfrac{17}{2025}\right|=\dfrac{17}{2025}$，$\left|-\dfrac{34}{4071}\right|=\dfrac{34}{4071}$。
第二步：用作商法比较两个正分数的大小：
$\dfrac{17}{2025}÷\dfrac{34}{4071}=\dfrac{17}{2025}×\dfrac{4071}{34}=\dfrac{4071}{4050}=\dfrac{1357}{1350}$，
因为$\dfrac{1357}{1350}＞1$，所以$\dfrac{17}{2025}＞\dfrac{34}{4071}$。
第三步：根据负数比较大小的法则推导结果：
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此$-\dfrac{17}{2025}＜-\dfrac{34}{4071}$。
【答案】
$-\dfrac{17}{2025}＜-\dfrac{34}{4071}$
【知识点】
负数比较大小法则、有理数除法运算、作商法比较大小
【点评】
本题解题核心是将负数比较大小转化为正数比较大小，灵活选用作商法替代常规通分方法，大幅简化了计算过程，是分数大小比较中非常实用的技巧，需注意最后负数比较大小的结果和绝对值比较结果相反。
【难度系数】
0.7
比较两个负数的大小，依据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则，可先将问题转化为比较两个负数的绝对值（即两个正分数）的大小。观察两个正分数的分子，发现34是17的2倍，因此选用作商法比较两个正分数的大小更简便：若两个正数相除的商大于1，则被除数大于除数；若商小于1，则被除数小于除数。得到绝对值的大小关系后，再反推两个负数的大小即可。
【解析】
第一步：先求两个负数的绝对值：
$\left|-\dfrac{17}{2025}\right|=\dfrac{17}{2025}$，$\left|-\dfrac{34}{4071}\right|=\dfrac{34}{4071}$。
第二步：用作商法比较两个正分数的大小：
$\dfrac{17}{2025}÷\dfrac{34}{4071}=\dfrac{17}{2025}×\dfrac{4071}{34}=\dfrac{4071}{4050}=\dfrac{1357}{1350}$，
因为$\dfrac{1357}{1350}＞1$，所以$\dfrac{17}{2025}＞\dfrac{34}{4071}$。
第三步：根据负数比较大小的法则推导结果：
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此$-\dfrac{17}{2025}＜-\dfrac{34}{4071}$。
【答案】
$-\dfrac{17}{2025}＜-\dfrac{34}{4071}$
【知识点】
负数比较大小法则、有理数除法运算、作商法比较大小
【点评】
本题解题核心是将负数比较大小转化为正数比较大小，灵活选用作商法替代常规通分方法，大幅简化了计算过程，是分数大小比较中非常实用的技巧，需注意最后负数比较大小的结果和绝对值比较结果相反。
【难度系数】
0.7
7.比较$-\frac{6}{23}, -\frac{4}{17}, -\frac{3}{11}, -\frac{12}{47}$的大小，用“＜”把它们连接起来。
答案
7. 解：因为$-\frac{6}{23}=-\frac{12}{46},-\frac{4}{17}=-\frac{12}{51},-\frac{3}{11}=-\frac{12}{44},-\frac{12}{44}＜-\frac{12}{46}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{12}{51}$,
所以$-\frac{3}{11}＜-\frac{6}{23}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{4}{17}$.
所以$-\frac{3}{11}＜-\frac{6}{23}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{4}{17}$.
解析
【分析】
本题是比较四个负分数的大小，解题思路如下：首先回忆负数比较大小的法则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，因此我们可以先比较四个数绝对值的大小，再转换为原负数的大小关系。观察四个分数的分子6、4、3、12，它们的最小公倍数是12，选择将分子统一为12（通分子）的方法，比通分母计算更简便。接下来利用分数的基本性质把每个分数化为分子是12的正分数，根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”比较绝对值的大小，最后根据负数比较大小的规则反向得到原数的大小关系即可。
【解析】
要比较负分数的大小，先比较它们绝对值的大小，再根据“绝对值大的负数反而小”判断：
1. 利用分数的基本性质，将四个分数的分子统一为12：
$\left|-\frac{6}{23}\right|=\frac{6}{23}=\frac{6×2}{23×2}=\frac{12}{46}$，
$\left|-\frac{4}{17}\right|=\frac{4}{17}=\frac{4×3}{17×3}=\frac{12}{51}$，
$\left|-\frac{3}{11}\right|=\frac{3}{11}=\frac{3×4}{11×4}=\frac{12}{44}$，
$\left|-\frac{12}{47}\right|=\frac{12}{47}$。
2. 比较同分子正分数的大小：分子相同，分母越大分数越小，因此$\frac{12}{44}＞\frac{12}{46}＞\frac{12}{47}＞\frac{12}{51}$。
3. 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小，因此：
$-\frac{12}{44}＜-\frac{12}{46}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{12}{51}$，
替换回原数可得最终的大小关系。
【答案】
$-\frac{3}{11}＜-\frac{6}{23}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{4}{17}$
【知识点】
1. 负数比较大小法则
2. 分数的基本性质
3. 同分子分数比较大小
【点评】
本题考查有理数大小比较的灵活应用，解题时可根据分数分子、分母的特征选择更简便的通分方式，避免不必要的复杂计算，同时要注意负数比较大小和正数比较大小的规则差异，防止不等号方向写反。
【难度系数】
0.7
本题是比较四个负分数的大小，解题思路如下：首先回忆负数比较大小的法则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，因此我们可以先比较四个数绝对值的大小，再转换为原负数的大小关系。观察四个分数的分子6、4、3、12，它们的最小公倍数是12，选择将分子统一为12（通分子）的方法，比通分母计算更简便。接下来利用分数的基本性质把每个分数化为分子是12的正分数，根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”比较绝对值的大小，最后根据负数比较大小的规则反向得到原数的大小关系即可。
【解析】
要比较负分数的大小，先比较它们绝对值的大小，再根据“绝对值大的负数反而小”判断：
1. 利用分数的基本性质，将四个分数的分子统一为12：
$\left|-\frac{6}{23}\right|=\frac{6}{23}=\frac{6×2}{23×2}=\frac{12}{46}$，
$\left|-\frac{4}{17}\right|=\frac{4}{17}=\frac{4×3}{17×3}=\frac{12}{51}$，
$\left|-\frac{3}{11}\right|=\frac{3}{11}=\frac{3×4}{11×4}=\frac{12}{44}$，
$\left|-\frac{12}{47}\right|=\frac{12}{47}$。
2. 比较同分子正分数的大小：分子相同，分母越大分数越小，因此$\frac{12}{44}＞\frac{12}{46}＞\frac{12}{47}＞\frac{12}{51}$。
3. 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小，因此：
$-\frac{12}{44}＜-\frac{12}{46}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{12}{51}$，
替换回原数可得最终的大小关系。
【答案】
$-\frac{3}{11}＜-\frac{6}{23}＜-\frac{12}{47}＜-\frac{4}{17}$
【知识点】
1. 负数比较大小法则
2. 分数的基本性质
3. 同分子分数比较大小
【点评】
本题考查有理数大小比较的灵活应用，解题时可根据分数分子、分母的特征选择更简便的通分方式，避免不必要的复杂计算，同时要注意负数比较大小和正数比较大小的规则差异，防止不等号方向写反。
【难度系数】
0.7
