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一、选择题
1. 下列关于函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是$y$轴;④顶点坐标是$(0,0)$;⑤$y$随$x$的增大而增大. 其中正确的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
1. 下列关于函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是$y$轴;④顶点坐标是$(0,0)$;⑤$y$随$x$的增大而增大. 其中正确的有(
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时先明确该函数中二次项系数$a=-\frac{1}{2}$，再结合$y=ax^2$的通用性质逐一判断5个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。解题核心是牢记$y=ax^2$的图象特征、开口方向判定规则、对称轴、顶点坐标以及增减性的区间限制。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
① 所有二次函数的图象都是抛物线，$y=-\dfrac{1}{2}x^2$属于二次函数，因此它的图象是一条抛物线，①正确；
② 二次函数的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，本题$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，②正确；
③ 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$x=0$，也就是$y$轴，③正确；
④ 将$x=0$代入函数得$y=0$，因此该函数的顶点坐标是$(0,0)$，④正确；
⑤ 由于抛物线开口向下，增减性需要分区间讨论：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，不能笼统表述为“$y$随$x$的增大而增大”，⑤错误。
综上，正确的说法共有4个，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点是对$y=ax^2$核心性质的记忆和理解，易错点是忽略增减性的适用范围，误将局部区间的增减规律当成全局规律，解题时只要注意分对称轴两侧讨论增减性即可避免出错。
【难度系数】
0.75
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时先明确该函数中二次项系数$a=-\frac{1}{2}$，再结合$y=ax^2$的通用性质逐一判断5个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。解题核心是牢记$y=ax^2$的图象特征、开口方向判定规则、对称轴、顶点坐标以及增减性的区间限制。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
① 所有二次函数的图象都是抛物线，$y=-\dfrac{1}{2}x^2$属于二次函数，因此它的图象是一条抛物线，①正确；
② 二次函数的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，本题$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，②正确；
③ 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$x=0$，也就是$y$轴，③正确；
④ 将$x=0$代入函数得$y=0$，因此该函数的顶点坐标是$(0,0)$，④正确；
⑤ 由于抛物线开口向下，增减性需要分区间讨论：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，不能笼统表述为“$y$随$x$的增大而增大”，⑤错误。
综上，正确的说法共有4个，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点是对$y=ax^2$核心性质的记忆和理解，易错点是忽略增减性的适用范围，误将局部区间的增减规律当成全局规律，解题时只要注意分对称轴两侧讨论增减性即可避免出错。
【难度系数】
0.75
2. 若二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点(
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
A
)A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
答案
2. A
解析
【分析】
解题可以从两个思路切入：思路一，二次函数$y=ax^2$只有1个未知参数$a$，我们可以先把已知点$P(-2,4)$代入解析式求出$a$的值，得到完整的函数解析式，再把各个选项的点代入解析式验证是否成立即可；思路二，回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，它的图象是抛物线，对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，已知点$(-2,4)$在图象上，它关于y轴的对称点也一定在图象上，可直接快速得到答案。
【解析】
方法1：代入求参验证法
将点$P(-2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$4=a×(-2)^2$
化简得$4=4a$，解得$a=1$
因此二次函数解析式为$y=x^2$
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，故点$(2,4)$在函数图象上，符合要求；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，故点$(-2,-4)$不在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，故点$(-4,2)$不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，故点$(4,-2)$不在图象上。
方法2：对称性快速解法
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，若$(-2,4)$在图象上，那么它关于y轴的对称点$(2,4)$也一定在图象上，可直接确定答案为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解法灵活，既可以通过求参数、代点验证的常规方法求解，也可以利用抛物线的对称性快速得出结果，熟练掌握二次函数的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路切入：思路一，二次函数$y=ax^2$只有1个未知参数$a$，我们可以先把已知点$P(-2,4)$代入解析式求出$a$的值，得到完整的函数解析式，再把各个选项的点代入解析式验证是否成立即可；思路二，回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，它的图象是抛物线，对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，已知点$(-2,4)$在图象上，它关于y轴的对称点也一定在图象上，可直接快速得到答案。
【解析】
方法1：代入求参验证法
将点$P(-2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$4=a×(-2)^2$
化简得$4=4a$，解得$a=1$
因此二次函数解析式为$y=x^2$
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，故点$(2,4)$在函数图象上，符合要求；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，故点$(-2,-4)$不在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，故点$(-4,2)$不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，故点$(4,-2)$不在图象上。
方法2：对称性快速解法
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，若$(-2,4)$在图象上，那么它关于y轴的对称点$(2,4)$也一定在图象上，可直接确定答案为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解法灵活，既可以通过求参数、代点验证的常规方法求解，也可以利用抛物线的对称性快速得出结果，熟练掌握二次函数的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 对于函数$y=4x^2$，下列说法正确的是(
A.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.$y$随$x$的增大而减小
D.$y$随$x$的增大而增大
B
)A.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.$y$随$x$的增大而减小
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质，先根据二次项系数的正负判断开口方向，再确定对称轴，分区间讨论函数的增减性，最后逐一验证每个选项是否符合性质即可。
【解析】
对于二次函数$y=4x^2$：
1. 二次项系数$a=4＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 增减性规律：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
逐一判断选项：
A选项：$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，不符合规律，错误；
B选项：$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，符合规律，正确；
C选项：未限定$x$的取值范围就说$y$随$x$的增大而减小，与实际性质不符，错误；
D选项：未限定$x$的取值范围就说$y$随$x$的增大而增大，与实际性质不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质；2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的关键是明确开口方向、对称轴与函数增减性的关系，注意讨论二次函数的增减性必须在对称轴同侧的区间内，不能笼统描述整个定义域内的增减变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质，先根据二次项系数的正负判断开口方向，再确定对称轴，分区间讨论函数的增减性，最后逐一验证每个选项是否符合性质即可。
【解析】
对于二次函数$y=4x^2$：
1. 二次项系数$a=4＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 增减性规律：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
逐一判断选项：
A选项：$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，不符合规律，错误；
B选项：$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，符合规律，正确；
C选项：未限定$x$的取值范围就说$y$随$x$的增大而减小，与实际性质不符，错误；
D选项：未限定$x$的取值范围就说$y$随$x$的增大而增大，与实际性质不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质；2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的关键是明确开口方向、对称轴与函数增减性的关系，注意讨论二次函数的增减性必须在对称轴同侧的区间内，不能笼统描述整个定义域内的增减变化。
【难度系数】
0.8
4*. 在抛物线$y=-x^2$上，当$y＜0$时，$x$的取值范围是(
A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x≠0$
D.$x≥0$
C
)A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x≠0$
D.$x≥0$
答案
4. C
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先从给定的二次函数表达式入手分析：首先明确对于任意实数x，x²都具有非负性，即x²≥0，据此可以推导函数值y的取值范围；题目要求y＜0，我们只需要排除y=0对应的x的取值，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方均为非负数，即对全体实数x，都有$x^2 ≥ 0$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-x^2 ≤ 0$，即二次函数$y=-x^2$的函数值$y ≤ 0$。
当$y=0$时，代入函数式得$0 = -x^2$，解得$x=0$。
因此当$y ＜ 0$时，$x ≠ 0$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、平方的非负性、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数$y=ax^2$取值范围的理解，解题核心是利用平方的非负性推导函数值的范围，注意排除y=0的特殊情况即可快速求解。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们首先从给定的二次函数表达式入手分析：首先明确对于任意实数x，x²都具有非负性，即x²≥0，据此可以推导函数值y的取值范围；题目要求y＜0，我们只需要排除y=0对应的x的取值，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方均为非负数，即对全体实数x，都有$x^2 ≥ 0$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-x^2 ≤ 0$，即二次函数$y=-x^2$的函数值$y ≤ 0$。
当$y=0$时，代入函数式得$0 = -x^2$，解得$x=0$。
因此当$y ＜ 0$时，$x ≠ 0$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、平方的非负性、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数$y=ax^2$取值范围的理解，解题核心是利用平方的非负性推导函数值的范围，注意排除y=0的特殊情况即可快速求解。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 二次函数$y=-x^2$的图象是一条开口向
1. 二次函数$y=-x^2$的图象是一条开口向
下
的抛物线，图象与x轴的交点坐标是$(0,0)$
，图象的对称轴是$y$轴
，图象有最高
点。答案
1. 下,$(0,0)$,$y$轴,高
解析
【分析】
解题时可围绕二次函数$y=ax^2$的核心性质逐步推导：首先通过二次项系数$a$的符号判断开口方向；再令$y=0$解方程，即可得到图象与x轴的交点坐标；$y=ax^2$类二次函数无一次项和常数项，对称轴固定为y轴；最后根据开口方向判断抛物线有最高点还是最低点，开口向下有最高点，开口向上有最低点。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=-x^2$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 求与x轴交点坐标：令$y=0$，可得方程$0=-x^2$，解得$x=0$，因此图象与x轴的交点坐标为$(0,0)$；
3. 对称轴判断：形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（也可表述为直线$x=0$）；
4. 最值点判断：因抛物线开口向下，因此图象有最高点。
【答案】
下,$(0,0)$,$y$轴,高
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 抛物线与坐标轴交点求法
3. 二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数的基础考察题，核心考查$y=ax^2$的基本性质，熟练掌握二次项系数对图象特征的影响、交点及对称轴的常规求法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时可围绕二次函数$y=ax^2$的核心性质逐步推导：首先通过二次项系数$a$的符号判断开口方向；再令$y=0$解方程，即可得到图象与x轴的交点坐标；$y=ax^2$类二次函数无一次项和常数项，对称轴固定为y轴；最后根据开口方向判断抛物线有最高点还是最低点，开口向下有最高点，开口向上有最低点。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=-x^2$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 求与x轴交点坐标：令$y=0$，可得方程$0=-x^2$，解得$x=0$，因此图象与x轴的交点坐标为$(0,0)$；
3. 对称轴判断：形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（也可表述为直线$x=0$）；
4. 最值点判断：因抛物线开口向下，因此图象有最高点。
【答案】
下,$(0,0)$,$y$轴,高
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 抛物线与坐标轴交点求法
3. 二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数的基础考察题，核心考查$y=ax^2$的基本性质，熟练掌握二次项系数对图象特征的影响、交点及对称轴的常规求法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 填表：
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 随着$x$的增大，$y$的变化情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | | |
| |
| $y=-3x^2$ | | | | |
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 随着$x$的增大，$y$的变化情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | | |
| || $y=-3x^2$ | | | | |
答案
解：
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 随着$x$的增大，$y$的变化情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 |
| $y=-3x^2$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 随着$x$的增大，$y$的变化情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 |
| $y=-3x^2$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题可按以下思路推导：1. 先判断二次项系数$a$的符号，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；2. 形如$y=ax^2$的二次函数不含一次项和常数项，因此对称轴固定为y轴（直线$x=0$），顶点固定为原点$(0,0)$；3. 增减性结合开口方向判断：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；开口向下时规律相反，左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。
【解析】
1. 分析抛物线$y=3x^2$：
二次项系数$a=3＞0$，因此开口方向向上；
无一次项、常数项，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 分析抛物线$y=-3x^2$：
二次项系数$a=-3＜0$，因此开口方向向下；
无一次项、常数项，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 随着$x$的增大，$y$的变化情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 |
| $y=-3x^2$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
【知识点】
1. $y=ax^2$的性质
2. 二次函数开口判断
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$对抛物线开口、增减性的影响，以及最简二次函数$y=ax^2$的对称轴、顶点规律，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题可按以下思路推导：1. 先判断二次项系数$a$的符号，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；2. 形如$y=ax^2$的二次函数不含一次项和常数项，因此对称轴固定为y轴（直线$x=0$），顶点固定为原点$(0,0)$；3. 增减性结合开口方向判断：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；开口向下时规律相反，左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。
【解析】
1. 分析抛物线$y=3x^2$：
二次项系数$a=3＞0$，因此开口方向向上；
无一次项、常数项，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 分析抛物线$y=-3x^2$：
二次项系数$a=-3＜0$，因此开口方向向下；
无一次项、常数项，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 随着$x$的增大，$y$的变化情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 |
| $y=-3x^2$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,0)$ | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
【知识点】
1. $y=ax^2$的性质
2. 二次函数开口判断
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$对抛物线开口、增减性的影响，以及最简二次函数$y=ax^2$的对称轴、顶点规律，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
3. 如果抛物线$y=(a-6)x^2$有最高点，那么$a$的取值范围是
$a＜6$
.答案
3. $a＜6$
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题思路如下：首先回忆二次项系数$a$的符号与抛物线开口方向、最值点的对应关系：当$a＞0$时，抛物线开口向上，图象有最低点；当$a＜0$时，抛物线开口向下，图象有最高点。本题中抛物线的二次项系数为$(a-6)$，结合“有最高点”的条件，可列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y=ax^2$：
若图象存在最高点，说明抛物线开口向下，即二次项系数$a＜0$。
本题中抛物线的二次项系数为$a-6$，因此可得不等式：
$a-6 ＜ 0$
移项解得：$a ＜ 6$
【答案】
$a＜6$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对抛物线开口方向和最值点的影响，牢记$a$的符号与抛物线开口方向的对应关系即可快速解题，题目本身已经明确是抛物线，无需额外考虑二次项系数为0的情况。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题思路如下：首先回忆二次项系数$a$的符号与抛物线开口方向、最值点的对应关系：当$a＞0$时，抛物线开口向上，图象有最低点；当$a＜0$时，抛物线开口向下，图象有最高点。本题中抛物线的二次项系数为$(a-6)$，结合“有最高点”的条件，可列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y=ax^2$：
若图象存在最高点，说明抛物线开口向下，即二次项系数$a＜0$。
本题中抛物线的二次项系数为$a-6$，因此可得不等式：
$a-6 ＜ 0$
移项解得：$a ＜ 6$
【答案】
$a＜6$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对抛物线开口方向和最值点的影响，牢记$a$的符号与抛物线开口方向的对应关系即可快速解题，题目本身已经明确是抛物线，无需额外考虑二次项系数为0的情况。
【难度系数】
0.8
4. $y=-2x^2$的图象上有三个点$(-1,y_1),(2,y_2),(3,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_1＞y_2＞y_3$
。答案
4. $y_1＞y_2＞y_3$
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路一：代入求值法，直接将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的y₁、y₂、y₃的值，再比较大小即可。思路二：性质判断法，先明确二次函数y=-2x²的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值越小，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离，就能快速判断函数值的大小关系。
【解析】
方法1（代入法）：
将x=-1代入y=-2x²，得$y_1=-2×(-1)^2=-2$；
将x=2代入y=-2x²，得$y_2=-2×2^2=-8$；
将x=3代入y=-2x²，得$y_3=-2×3^2=-18$；
∵-2 ＞ -8 ＞ -18，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
方法2（性质法）：
在二次函数y=-2x²中，a=-2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴（x=0）；
开口向下的抛物线上，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；
三个点横坐标到对称轴的距离分别为：$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$|3-0|=3$，
∵1＜2＜3，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
【答案】
$y_1＞y_2＞y_3$
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可通过直接代入求值比较大小，也可利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离快速判断，解题时选择适合自己的方法即可，熟练掌握二次函数基本性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：思路一：代入求值法，直接将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的y₁、y₂、y₃的值，再比较大小即可。思路二：性质判断法，先明确二次函数y=-2x²的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值越小，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离，就能快速判断函数值的大小关系。
【解析】
方法1（代入法）：
将x=-1代入y=-2x²，得$y_1=-2×(-1)^2=-2$；
将x=2代入y=-2x²，得$y_2=-2×2^2=-8$；
将x=3代入y=-2x²，得$y_3=-2×3^2=-18$；
∵-2 ＞ -8 ＞ -18，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
方法2（性质法）：
在二次函数y=-2x²中，a=-2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴（x=0）；
开口向下的抛物线上，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；
三个点横坐标到对称轴的距离分别为：$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$|3-0|=3$，
∵1＜2＜3，
∴$y_1＞y_2＞y_3$。
【答案】
$y_1＞y_2＞y_3$
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可通过直接代入求值比较大小，也可利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离快速判断，解题时选择适合自己的方法即可，熟练掌握二次函数基本性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 已知二次函数$y=x^2$,当自变量$x$的取值范围是$-1＜x＜3$时,函数值$y$的取值范围为
$0≤y＜9$
.答案
5. $0≤y＜9$
解析
【分析】
要确定二次函数在给定自变量范围的函数值范围，首先明确二次函数$y=x^2$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。首先判断顶点的横坐标是否在给定的$x$的取值范围$-1＜x＜3$内：显然$x=0$在这个区间内，因此函数在该区间的最小值就是顶点处的函数值。接下来比较区间两个端点处的函数值，因为开口向上的二次函数离对称轴越远的点对应的函数值越大，找到离对称轴更远的端点对应的函数值，再结合自变量是开区间，判断端点的函数值是否可取，即可得到$y$的取值范围。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2$的基本性质：
二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
2. 求最小值：
因为$x=0$满足$-1＜x＜3$，所以当$x=0$时，函数取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=0^2=0$。
3. 求最大值的边界：
分别计算区间端点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；
当$x=3$时，$y=3^2=9$。
因为开口向上的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且$x$的取值范围是$-1＜x＜3$，$x$无法取到$3$，因此$y＜9$。
对比$x=-1$和$x=3$的函数值，$9＞1$，因此该区间内函数值的最大边界为9，且取不到9。
综上，函数值$y$的取值范围是$0≤ y＜9$。
【答案】
$0≤ y＜9$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的应用，解题时需注意先判断顶点是否在自变量的取值范围内，不要直接代入区间端点计算最值，同时要注意自变量是开区间时，对应的端点函数值是否可取。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数在给定自变量范围的函数值范围，首先明确二次函数$y=x^2$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。首先判断顶点的横坐标是否在给定的$x$的取值范围$-1＜x＜3$内：显然$x=0$在这个区间内，因此函数在该区间的最小值就是顶点处的函数值。接下来比较区间两个端点处的函数值，因为开口向上的二次函数离对称轴越远的点对应的函数值越大，找到离对称轴更远的端点对应的函数值，再结合自变量是开区间，判断端点的函数值是否可取，即可得到$y$的取值范围。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2$的基本性质：
二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
2. 求最小值：
因为$x=0$满足$-1＜x＜3$，所以当$x=0$时，函数取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=0^2=0$。
3. 求最大值的边界：
分别计算区间端点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；
当$x=3$时，$y=3^2=9$。
因为开口向上的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且$x$的取值范围是$-1＜x＜3$，$x$无法取到$3$，因此$y＜9$。
对比$x=-1$和$x=3$的函数值，$9＞1$，因此该区间内函数值的最大边界为9，且取不到9。
综上，函数值$y$的取值范围是$0≤ y＜9$。
【答案】
$0≤ y＜9$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的应用，解题时需注意先判断顶点是否在自变量的取值范围内，不要直接代入区间端点计算最值，同时要注意自变量是开区间时，对应的端点函数值是否可取。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象是一条抛物线，如图所示，试指出a的符号、抛物线的对称轴、顶点坐标，以及随着x的增大y的变化情况。
1. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象是一条抛物线，如图所示，试指出a的符号、抛物线的对称轴、顶点坐标，以及随着x的增大y的变化情况。
答案
1. $a＞0$,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;当$x＜0$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞0$时,$y$随着$x$的增大而增大.
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步先观察抛物线开口方向，二次函数y=ax²中，开口向上则a＞0，开口向下则a＜0，本题图象开口向上，可直接判断a的符号；第二步回忆y=ax²的基础性质，这类函数的对称轴固定为y轴，顶点为原点；第三步结合开口方向分析增减性，开口向上的抛物线，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，分区间描述即可。
【解析】
1. 判断a的符号：由图象可知抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 确定对称轴与顶点坐标：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
3. 分析增减性：因抛物线开口向上，因此当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【答案】
$a＞0$,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;当$x＜0$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞0$时,$y$随着$x$的增大而增大.
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、二次函数系数与开口的关系、二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对最基本二次函数图象性质的掌握，是学习更复杂二次函数的基础，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思考：第一步先观察抛物线开口方向，二次函数y=ax²中，开口向上则a＞0，开口向下则a＜0，本题图象开口向上，可直接判断a的符号；第二步回忆y=ax²的基础性质，这类函数的对称轴固定为y轴，顶点为原点；第三步结合开口方向分析增减性，开口向上的抛物线，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，分区间描述即可。
【解析】
1. 判断a的符号：由图象可知抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 确定对称轴与顶点坐标：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
3. 分析增减性：因抛物线开口向上，因此当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【答案】
$a＞0$,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;当$x＜0$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞0$时,$y$随着$x$的增大而增大.
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、二次函数系数与开口的关系、二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对最基本二次函数图象性质的掌握，是学习更复杂二次函数的基础，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
